$n-$ésima derivada de $e^x \sin x$

Question

¿Alguien puede verificar esto por mí, por favor? El ejercicio consiste en encontrar una expresión para la n-ésima derivada de $f(x) = e^x \cdot \sin x$. He hecho lo siguiente:

Escribo $\sin x = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, entonces tenemos $f(x) = \dfrac{1}{2i} \cdot (e^{(1+i)x} - e^{(1-i)x})

Tomando las derivadas: $f^{(n)}(x) = \dfrac{1}{2i} \cdot ((1+i)^n e^{(1+i)x} - (1-i)^n e^{(1-i)x})$

Ahora, utilizo que: $$(1+i)^n = {\sqrt{2}}^n \cdot \left(\cos\dfrac{n \pi}{4} + i \sin\dfrac{n \pi}{4}\right) \\(1 - i)^n = \sqrt{2}^n \cdot \left( \cos \dfrac{-n \pi}{4} + i \sin \dfrac{-n \pi}{4} \right)$$

Sustituyendo eso, obtengo: $$f^{(n)}(x) = \dfrac{e^x}{2i} \sqrt{2}^n \cdot \left(\left(\cos \dfrac{n \pi}{4} + i \sin \dfrac{n \pi}{4}\right) e^{ix} - \left(\cos \dfrac{-n \pi}{4} + i \sin \dfrac{- n \pi}{4}\right) e^{-ix} \right)$$

Pero, $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, y usando el teorema de Moivre, eso da: $$f^{(n)}(x) = \dfrac{e^x}{2i} \sqrt{2}^n \cdot \left(\cos \left( x + \frac{n \pi}{4}\right) + i \sin \left( x + \frac{n \pi}{4}\right) - \left(\cos \left( - x - \frac{n \pi}{4}\right) + i \sin \left( -x -\frac{ n \pi}{4}\right)\right)\right)$$

y dado que $\cos$ es una función par, y $\sin$ es impar, obtenemos: $$f^{(n)}(x) = \dfrac{e^x}{2i} \sqrt{2}^n \cdot 2i \sin \left(x + \dfrac{n \pi}{4}\right)$$

Simplificando, la respuesta sería $f^{(n)}(x) = e^x \cdot \sqrt{2}^n \cdot \sin\left(x + \dfrac{n \pi}{4}\right)$. Estoy casi seguro de que esto es correcto, pero solo quiero estar seguro. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, tu trabajo es correcto. Pero hay una forma más fácil. Pon $g(x)= e^{(1+i)x}$ y nota que $f(x)$ es la parte imaginaria de $g(x)$ para $x$ real. Ahora $g^{(n)}(x) =(1+i)^n e^{(1+i)x}$. Dado que $1+i=2^{1/2} e^{\pi i/4}$, tenemos $g^{(n)}(x) =2^{n/2}e^{n\pi i/4}e^{(1+i)x}=2^{n/2}e^{x + i(x +n\pi /4)}$. Por lo tanto, $f^{(n)}(x)$ es la parte imaginaria de $g^{(n)}(x)$, que es $2^{n/2}e^x \sin (x +n\pi /4)$ como se deseaba.

Answer 2

Sí. Tu derivación es correcta. Aquí hay una destilación que podría hacer que sea más fácil ver qué está sucediendo: $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}e^x\sin(x) &=\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\frac1{2i}\left(e^{(1+i)x}-e^{(1-i)x}\right)\\ &=\frac1{2i}\left((1+i)^ne^{(1+i)x}-(1-i)^ne^{(1-i)x}\right)\\ &=\frac1{2i}2^{n/2}\left(e^{in\pi/4}e^{(1+i)x}-e^{-in\pi/4}e^{(1-i)x}\right)\\[4pt] &=2^{n/2}e^x\sin(x+n\pi/4) \end{align} $$

Answer 3

Hay un bonito punto que dice $$D^n\{e^{kx}f(x)\}=e^{kx}(D+k)^nf(x)$$ Se puede demostrar mediante un enfoque inductivo en $n$. Al usarlo, obtenemos: $$D\left(e^x\sin x\right)=e^x(D+1)\sin x=e^x(\cos x+\sin x)=\sqrt{2}e^x\sin(x+\pi/4)\\D^2\left(e^x\sin x\right)=D(\sqrt{2}e^x\sin(x+\pi/4))=\sqrt{2}e^x(D+1)\sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}e^x[\cos(x+\pi/4)+\sin(x+\pi/4)]=(\sqrt{2})^2e^x\sin(x+2\pi/4)$$ Así que podemos suponer que $D^n(e^x\sin x)=(\sqrt{2})^ne^x\sin(x+n\pi/4)$. Lo que queda es demostrarlo por inducción en $n$. Si $D^k(e^x\sin x)=(\sqrt{2})^ke^x\sin(x+k\pi/4)$ entonces $$D^{k+1}(e^x\sin x)=D[(\sqrt{2})^ke^x\sin(x+k\pi/4)]=(\sqrt{2})^ke^x(D+1)\sin(x+k\pi/4)=\cdots=(\sqrt{2})^{k+1}e^x\sin(x+(k+1)\pi/4)$$