Mostrar que $\sqrt [3]{2}-\sqrt [3]{4}$ es algebraicas

Question

¿Cómo puedo mostrar, paso a paso, que los $\sqrt [3]{2}-\sqrt [3]{4}$ es una raíz de $x^3+6x+2$?

Empezar con $x=\sqrt [3]{2}-\sqrt [3]{4}$ no utilice el cubo, el cubo es dado por conveniencia.

( Este es el ejemplo 4.1.3 desde iniciación de la HORMIGA por Alaca/Williams )

Answer 1

Elevar el número asignado a la tercera potencia y el uso de la identidad $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3–3ab(a–b)$$ you obtain $$\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\right)^3=2-4-3\sqrt[3]8\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\right)=-2-6\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\right)$$ or equivalently $$\left(\color{blue}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}\right)^3+6\left(\color{blue}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}}\right)+2=0$$

Answer 2

Aquí es una "mano" del método.

Tenga en cuenta que$\sqrt [3] 4 =(\sqrt [3] 2)^2$$(\sqrt [3] 4)^2=2\sqrt[3] 2$.

Esto significa que los poderes de la $y=\sqrt [3] 2-\sqrt [3] 4$ todo puede ser escrito como polinomios en $x=\sqrt [3] 2$.

Pero desde $x^3=2$ siempre podemos reducir el polinomio en la mayoría de los cuadrática.

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$$y=x-x^2$$

$$y^2=x^2-2x^3+x^4=x^2-4+2x=x^2+2x-4$$

$$y^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=2-6x+6x^2-4=6x^2-6x-2$$

Ahora eliminan $x^2$ desde el final de dos ecuaciones usando la primera, la que nos dice que $x^2=x-y$

Esto le da a $$y^2 =x-y+2x-4: \text { or } y^2+y=3x-4$$

y $$y^3=6(x-y)-6x-2=-6y-2: \text { or } y^3+6y+2=0$$

Era posible que hubiéramos tenido que eliminar la $x$ entre estas dos ecuaciones para obtener una cúbicos en $y$, pero tuvimos la "suerte" de que $x$ desaparecido de su propio acuerdo. Ver a @Stephanos la respuesta a por qué esto sucede.

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Siempre se nos va a obtener expresiones para $y, y^2, y^3$ cuadráticas en $x$ - es decir, como expresiones con un término constante, un término en $x$ y un plazo de $x^2$. Si tratamos $\{1, x, x^2\}$, al igual que una base en álgebra lineal, con tres ecuaciones se puede eliminar sistemáticamente a $x$ $x^2$ dejar un cúbicos en $y$ (sólo con el término constante).

La aplicación de las técnicas de álgebra lineal en casos como este es un aspecto en el que más problemas generales de este tipo puede ser abordado - y, de hecho, es una herramienta para probar potente general de teoremas.

Answer 3

Deje $a = 2^{1/3}$$b = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = (2^{1/3})^2 = a^2$. Entonces $$(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) = a^3 - b^3 - 3a^3(a-b),$$ where upon substituting values we obtain $$(a-b)^3 = 2-4 - 3(2)(a-b) = -2 - 6(a-b).$$ Thus if $x = a-b = 2^{1/3} - 4^{1/3}$, then $$x^3 + 6x + 2 = 0.$$