Usted puede escribir los seis letras en las seis caras de un dado, con una oposición a f, b opone a e y c se opuso a d. A continuación, el primer paso corresponde al girar los dados de 90° alrededor del eje a través de los centros de una y f. El segundo movimiento B corresponde a girar los dados 120° alrededor del eje a través de la común de la esquina abd y el común de la esquina de la cef. Sin embargo, la 5ª opción es el espejo de la imagen de los dados, que no puede ser alcanzado por las rotaciones de los dados (que son rígidos rotaciones de la 3-dim espacio).
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Usted puede aceptar esta solución geométrica, o usted puede escribir los vectores del centro de las caras y las matrices correspondientes a los movimientos:
$$
a=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\quad c=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\quad
d=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\quad e=\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix},\quad f=\begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\quad
$$
El primer movimiento es $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}$ y el segundo movimiento es $B=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&0\\ 0&-1&0 \end{pmatrix}$.
Tenga en cuenta que $\det(A)=\det(B)=1$.
A continuación, la primera opción corresponde a $\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$$\det\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}=1$.
La segunda opción corresponde a $\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}$$\det\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}=1$.
La tercera opción corresponde a $\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}$$\det\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}=1$.
La cuarta opción corresponde a $\begin{pmatrix}0&-1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$$\det\begin{pmatrix}0&-1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}=1$.
Finalmente, la quinta opción corresponde a $\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$, pero $\det\begin{pmatrix}-1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}=-1$.
Así que definitivamente la quinta opción no es posible. No es difícil ver que a y B se generan todas las posibles posiciones de los dados, de ahí que las primeras cuatro opciones (que corresponden cada uno a una determinada posición de los dados), puede ser generado por a y B. En particular, la primera opción es AB, la segunda opción es el BABA$^2$, la tercera opción es BA$^2$ y la cuarta opción es UN$^2$BA.
${\bf EDIT:}$
El invariante que se pidió en el OP es el factor determinante. Usted puede calcular sin saber acerca de las matrices (pero es mucho más complicado). El invariante $\det$ está determinado por dos funciones de $F_1$$F_2$. Hay tres pares de letras: $\{a,f\}$, $\{b,e\}$, $\{c,d\}$. La primera función de $F_1$ es la paridad del número de letras $a$, $b$ o $c$ que están en la segunda mitad de la cadena. Por ejemplo, el primer movimiento tiene sólo la letra $c$ en la segunda mitad, por lo que $F_1=(-1)^1
=-1$. Then we interchange the letters in the pairs, so that $$, $b$ and $c$ are in the first half. Finally we compute the parity of the resulting permutation of $$, $b$ and $c$. In the first move the resulting permutation is $(acb)$ so it has parity $F_2=(-1)^1=-1$. Finally, $\det=F_1 F_2$, so in the first move it is $\det=(-1)(-1)=1$.
La paridad de la permutación de los tres elementos es (-1) si se trata de una transposición (sólo dos elementos son intercambiados) y es igual a 1 si la identidad o la permutación cíclica de tres elementos. Así
$F_2(abc)=F_2(bca)=F_2(cab)=1$ $F_2(acb)=F_2(bac)=F_2(cba)=-1$ . Tenga en cuenta que hay una notación estándar para el permutaciones, la codificación de ellos por los números.
Por lo $(abc)$ corresponde a la identidad, $(bca)$ corresponde a $(123)$ $(cab)$ corresponde a $(132)$.
Del mismo modo $(acb)$ corresponde a $(23)$, $(bac)$ corresponde a $(12)$ y
$(cba)$ corresponde a $(13)$.
Para el segundo movimiento $F_1=(-1)^2$, ya que hay dos elementos ( $b$ $c$ ) en la segunda mitad de la cadena. El resultado de permutación después de ordenar los pares es $(cab)$ (en la notación estándar es $(123)$), una permutación cíclica de tres elementos, por lo $F_2=1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=1$.
Para la primera opción sólo tenemos $c$ en la segunda mitad, por lo $F_1=-1$. El resultado de permutación después de ordenar los pares es $(cba)$ (en la notación estándar es $(13)$), transposición, por lo $F_2=-1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=1$.
Para la segunda opción sólo tenemos $a$ en la segunda mitad, por lo $F_1=-1$. El resultado de permutación después de ordenar los pares es $(acb)$ (en la notación estándar es $(23)$), transposición, por lo $F_2=-1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=1$.
Para la tercera opción todos los elementos $a$, $b$ y $c$ en la primera mitad, por lo $F_1=1$. El resultado de permutación después de ordenar los pares (en este caso ya está ordenada) es $(cab)$ (en la notación estándar es $(123)$), una permutación cíclica de tres elementos, por lo $F_2=1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=1$.
Para la cuarta opción que los tres elementos se encuentran en la segunda mitad, por lo $F_1=(-1)^3=-1$. El resultado de permutación después de ordenar los pares es $(bac)$ (en la notación estándar es $(12)$), un transpostion, por lo $F_2=-1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=1$.
Ahora, para la quinta opción de los tres elementos se encuentran en la segunda mitad, por lo $F_1=(-1)^3=-1$. El resultado de permutación después de ordenar los pares es $(abc)$ (en la notación estándar es la identidad), por lo $F_2=1$. Por lo tanto $\det=F_1F_2=-1$.
Sin embargo, la determinat $\det$ es multiplicativa, por lo que la quinta opción no se puede llegar a componer el primer y el segundo movimiento.
