Universal cubriendo de $SO(3,\mathbb{R})$

Question

¿Cómo se puede demostrar que el universal cubriendo de $SO(3, \mathbb{R})$$S^3$ ? O, equivalentemente, que es diffeomorphic a $P_3\mathbb{R}$ ?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Cualquier elemento de $SO(3)$ es la rotación alrededor de un eje en $\mathbb{R}^3$ - es decir, a cada elemento puede ser representada por un eje de rotación y un ángulo de rotación.

$\mathbb{RP}^3$ $\mathbb{D}^3$ con antipodal puntos identificados. Dado un punto en $\mathbb{D}^3$ es cierta distancia (entre -1 y 1) en un vector desde el origen. Este vector se le da al eje de rotación de un punto en $\mathbb{RP}^3$. Todavía necesitamos los ángulos de rotación, pero estas serán dadas por la distancia entre -1 a 1. La escala de los valores de $-\pi$$\pi$, tenga en cuenta que, a continuación, antipodal puntos de $\mathbb{D}^3$ se asigna al mismo punto en $\mathbb{RP}^3$

Answer 2

También se puede demostrar que el medico adjunto de la representación de su(2) (3) y encontrar la cobertura del mapa de manera bastante explícita.