El ejemplo más importante de una $H$-grupo es el bucle espacio $(\Omega Y,w_0)$ de cualquier señaló espacio de $(Y,y_0)$. Vamos $\mu:\Omega Y\times \Omega Y\to \Omega Y; \;\; \mu(\alpha,\beta)=\alpha \star\beta$,
donde $\alpha \star\beta$ es el producto de dos bucle $\alpha$$\beta$. Para mostrar $\mu$ es continua, se utiliza el Teorema de la exponencial de la correspondencia y Pegar lema en $\Omega Y\times \Omega Y\times[0,\frac{1}{2}]$ $\Omega Y\times \Omega Y\times[\frac{1}{2},1]$ cerrado de subconjuntos de a $\Omega Y\times \Omega Y\times I$. De hecho, nos muestran que
$\Omega Y\times \Omega Y\times I\mathop \to \limits^{\mu\times 1}\Omega Y\times I\mathop \to \limits^{E}Y;\;\; (\alpha,\beta,t)\mapsto \alpha\star\beta(t),$ es continua. $\mu$ es un H-multiplicación. es decir, la constante de mapa de $e:\Omega Y\to\Omega Y$ cuyo valor es la constante bucle de $w_0$ $H$- unidad (es decir,$\mu\circ (e,1)\simeq 1 \simeq \mu\circ (1,e)$.
Queremos un homotopy $H:\Omega Y\times I\to \Omega Y$$\mu\circ (1,e)$$1$. Para ello, fija $t\in I$ definimos un $H_t:\Omega Y\times \{t\}\times I\to Y$ por $ H_t(w,t,s)= \begin{cases} w(\frac{2s}{t+1})& 0\leq s\leq \frac{t+1}{2}\\ y_0 & \frac{t+1}{2}\leq s\leq 1 \end{casos} .$
En forma similar, Pegar lema en $\Omega Y\times\{t\}\times [0,\frac{t+1}{2}]$ $\Omega Y\times\{t\}\times [\frac{t+1}{2},1]$ implica que el $H_t$ es continua para cada $t\in I$. Pero ahora, ¿cómo podemos mostrar que $\bar H:\Omega Y\times I\times I\to Y$ por $ H(w,t,s)= \begin{cases} w(\frac{2s}{t+1})& 0\leq s\leq \frac{t+1}{2}\\ y_0 & \frac{t+1}{2}\leq s\leq 1 \end{casos} $ es continua?
[1] Teorema de exponencial correspondencia: Si $X$ es localmente compacto espacio de hausdorff y $Y$ $Z$ son espacios topológicos, un mapa de $g: Z\to Y^X$ es continua si y sólo si $E\circ (g \times 1): Z\times X\to Y$ es continua.
[1] E. H. Spanier, topología Algebraica, Nueva York, McGraw-Hill, 1966.
