Determinar todos los verdaderos $x$ para que la siguiente serie converge: $$\sum_{k=1}^\infty\frac{k^k}{k!}x^k.$$ Usted puede utilizar el hecho de que $$\lim_{k\to\infty}\frac{k!}{\sqrt{2\pi k}(k/e)^k}=1.$$
He encontrado que el radio de convergencia es $\displaystyle \frac{1}{e}$.Después se consideran los puntos finales. Al $\displaystyle x=-\frac{1}{e}$, la serie converge por la alternancia de serie de la prueba. Pero yo se no es posible determinar que para el caso de que $\displaystyle x=\frac{1}{e}$. He intentado utilizar la prueba de comparación mediante el hecho dado. Supongo que en este caso la serie diverge. Puede alguien por favor me dan una pista para completar la prueba?
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Oli
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Deje $x=1/e$, y deje $a_k=\frac{k^k}{k!}(1/e)^k$. Queremos mostrar que $\sum a_k$ diverge.
Deje $\frac{k!}{\sqrt{2\pi k}(k/e)^k}=c_k$. Se nos dice que $\lim_{k\to\infty} c_k=1$.
Con algo de álgebra, podemos ver que $$a_k=\frac{k^k}{k!}(1/e)^k=\frac{1}{c_k}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi k}}.$$ Tenga en cuenta que el límite de $\frac{a_k}{1/\sqrt{k}}$ $k\to\infty$ es un no-cero constante. Por lo tanto, por el Límite de la Prueba de Comparación, $\sum_{k=1}^\infty a_k$ diverge.
Comentario: queremos mostrar (condicional) la convergencia en $x=-1/e$, mediante la alternancia de serie de la prueba. Por eso queremos demostrar que los términos están disminuyendo en valor absoluto y tiene límite de $0$. Que el límite es de $0$ sigue a partir de la Fórmula de Stirling, pero que no es suficiente para probar monotonía.
Busque su lugar en la relación de $\frac{b_{k+1}}{b_k}$ donde $b_n=\frac{n^n}{n!}(1/e)^n$. Después de cierta simplificación, nos encontramos con que $$\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{(k+1)^{k+1}}{k^k\cdot (k+1)}(1/e)=\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k.$$
Es un estándar de hecho de que $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ aumenta monótonamente, y tiene límite de $e$. De ello se desprende que $\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\lt 1$, y por lo tanto $b_{k+1}\lt b_k$.
Roger Hoover
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Como una nota del lado, creo que vale la pena mencionar que por el de Lagrange de la inversión de la fórmula tenemos: $$ \forall x\in\left(-\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right)\qquad W(x) = \sum_{n\geq 1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n $$ con $W$ la de Lambert $W$ función, es decir, la función inversa de la $x e^x$ en una vecindad del origen. Trivial manipulaciones, a continuación, conduce a:
$$ \forall x\in\left(-\frac{1}{e},\frac{1}{e}\right)\qquad \sum_{k\geq 1}\frac{k^k}{k!}\,x^k = \frac{-W(-x)}{1+W(-x)}.$$ La convergencia en los extremos puede ser estudiado a través de Stirling de la desigualdad: $$ \sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^k \exp\left(\frac{1}{12k+1}\right)\leq k!\leq \sqrt{2\pi k}\left(\frac{k}{e}\right)^k \exp\left(\frac{1}{12k}\right).$$
