Convergencia de la integral definida

Question

Tengo que averiguar la convergencia de la siguiente integral: $$\int^{\pi/2}_0{\frac{\ln(\sin(x))}{\sqrt{x}}}dx$$ ¿Alguna ayuda? Gracias

Answer 1

El único problema es que en $0$ .

Tenemos, como $x$ se acerca a $0$ , $$ \sin x\sim x $$ así que $$ \frac{\log(\sin x)}{\sqrt{x}}\sim\frac{\log x}{\sqrt{x}} $$ y la integral de esta última converge en $0$ .

Si no lo sabías, compara por ejemplo con $\frac{1}{x^{2/3}}$ . Desde $$ x^{2/3}\frac{\log x}{\sqrt{x}}\longrightarrow 0 $$ tenemos $$ \lvert \frac{\log x}{\sqrt{x}}\rvert\leq \frac{C}{x^{2/3}}. $$ Ahora se ve fácilmente que la integral de $1/x^{2/3}$ converge en $0$ .

Así que su integral converge.

Answer 2

Si se integra por partes, entonces se encuentra $$\int_0^{\pi/2}dx\,\frac{\ln\sin x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\ln\sin x\Bigg|_0^{\pi/2}+2\int_0^{\pi/2}dx\,\sqrt{x}\frac{\cos x}{\sin x}.$$ En este punto está bastante claro que la integral converge porque $\sqrt{x}/\sin x\sim x^{-1/2}$ en $x=0$ .

Answer 3

La parte complicada de la integral está cerca de $x=0$ . Allí, observe que $\sin{x} \sim x$ y considerar

$$\int dx \frac{\log{x}}{\sqrt{x}}$$

Sustituir $x=u^2$ , $dx=2 u du$ y esta integral es igual a

$$2 \int du u \frac{1}{u} \log{u^2} = 4\int du \log{u} = 4 (u \log{u}-u) = 2 (\sqrt{x} \log{x} - 2 \sqrt{x}) $$

Así, cerca de $x=0$ La singularidad es integrable y la integral converge.