función analítica

Question

Para algunos analítica de la función $f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{r=0}c_rx^r$, $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{r=0}c_rx^r}{e^x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{r=0}c_r\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^r}{e^x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{r=0}c_r(0)=\lim_{n\rightarrow\infty}0=0$$ Pero, obviamente, esto no puede ser cierto? Para decir, $f(x)=e^x$ tendríamos $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{e^x}=1$$ and $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{e^x}=0$$ lo cual implicaría$$0=1$$

ACTUALIZACIÓN: Una respuesta ha sugerido que los dos límites no puede ser invertida. Esto es cierto y por qué es esto así? Me gustaría una explicación más completa si este es el caso. También si este fuera el caso, no podía esta modificación a la pregunta evitar esa trampa completamente? $f(x)=\sum^\infty_{r=0}c_rx^r$, $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sum^\infty_{r=0}c_rx^r}{e^x}=\sum^\infty_{r=0}c_r\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^r}{e^x}=\sum^\infty_{r=0}c_r(0)==0$$

Gracias de antemano. Cualquier otra pensamientos o comentarios de bienvenida.

Answer 1

Sugerencia: Este es un ejemplo perfecto de por qué no siempre se pueden cambiar límites!

Answer 2

Una respuesta ha sugerido que los dos límites no puede ser invertida. Esto es cierto y por qué es esto así?

1. "¿Es esto cierto?" Sí, y su ejemplo muestra por qué es cierto. La conmutación de los límites conduce a $0=1$, y por lo tanto es erróneo.

2. "¿Por qué es esto así?" Debido a que los resultados de los límites en los diferentes órdenes es a menudo diferente. Usted ha dado un ejemplo de esto.

3. "También si este fuera el caso, no podía esta modificación a la pregunta evitar esa trampa completamente?...." Que No, que en realidad no es una modificación, sólo una notación más concisa con el mismo significado. El valor de una serie infinita es, por definición, el límite de la secuencia de sumas parciales. Es decir, $\sum\limits_{r=0}^\infty a_r$ significa lo mismo que $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{r=0}^n a_r$, siempre que éste existe. Por lo tanto, pasar un límite a través de una infinita suma es un caso de cambio de los límites, y como su ejemplo se muestra, no es siempre correcta.