Curvas con longitud de arco conocida

Question

Agradecería si pudieras enumerar tantas curvas (planas) con expresiones analíticas conocidas de forma cerrada para la longitud del arco como sea posible. Por favor incluye fórmulas tanto para la curva como para la longitud del arco. Las curvas implícitas son de particular interés para mí.

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Puede que también pueda comenzar la lista:

1. Círculo $S^1$

   • ecuación implícita: $\quad\left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1, \quad$ parametrización: $\ \begin{cases} x = r\cos t, \\ y = r\sin t, \end{cases} \ t \in [0, 2\pi)$.
   • longitud del arco $ s(t) = r\cdot t, \ t \in [0, 2\pi)$, y $s(x,y) = r \cdot \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \ 0\le x,y\leq r $.

2. Parábola con longitud focal $f$, distancia perpendicular al eje de simetría $p$.

   • ecuación implícita: $\left( x - h\right)^2 = 4 p \, (y-k)$.
   • longitud del arco desde el vértice de la parábola $s = \frac{hq}{f} + f \ln \left( \frac{h+q}{f}\right)$, $h = p/2$, $q = \sqrt{f^2 + h^2}$.

3. $ y = x^2 - \frac{1}{8}\ln x $.

   • longitud del arco desde el punto $(1,1)$: $\ s(x) = x^2 + \frac{1}{8}\ln x - 1$.

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PD: Por favor, no dudes en publicar curvas en dimensiones superiores.

Answer 1

Catenaria, $f=\cosh(x)$, ya que $f'(x) =\sinh(x) $ entonces $\sqrt{f'^2(x)+1} =\sqrt{\sinh^2(x)+1} =\cosh(x) =f(x) $.

Answer 2

1. Calcula la longitud del arco de la gráfica de la función $y = x^{3/2}$ entre los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$.
2. Calcula la longitud del arco de la gráfica de la función $y = (1/4) x^2-(1/2) \ln x$, entre los puntos $(1,1/4)$ y $\bigl(e,(e^2-2)/4\bigr)$.
3. Calcula la longitud del arco del cicloide dado por las ecuaciones paramétricas \[ x(t) = t- \sin(t), \quad y(t) = 1-\cos(t) \quad \text{donde} \quad 0 \leq t \leq 2 \pi. \]
4. Calcula la longitud del arco de la curva astroide dada por las ecuaciones paramétricas \[ x(t) = (\cos t)^3, \quad y(t) = (\sin t)^3 \quad \text{donde} \quad 0 \leq t \leq 2 \pi. \]
5. Calcula la longitud del arco de la espiral dada por las ecuaciones paramétricas \[ x(t) = (\exp t)(\cos t), \quad y(t) = (\exp t)(\sin t) \quad \text{donde} \quad -\pi \leq t \leq \pi. \]

Answer 3

La tráctrix tiene ecuaciones paramétricas: $$ x(t)=a(t-\tanh (t)) \qquad y(t)=a \mbox{ sech }( t) $$ y la longitud del arco es: $s(t)=a \ln (\cosh (t))$.

Una curva con ecuación implícita y longitud de arco simple es la nefróide: $$ 108a^4x^2=(x^2+y^2-4a^2)^3 $$ que tiene longitud: $L=24a$

Y otra es la deltoid.