Muestre que$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^2}\right)$ converge.

Question

Mostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^2}\right)$$ converge.

He intentado una solución mediante la siguiente aproximación de $\sin x$ pequeña $x$

$$ \sin x \x aprox $$

Por lo tanto $$ \sin \left(\frac{1}{n^2}\right) \approx \frac{1}{n^2} $$ Así que llegué a la conclusión de que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$ Que claramente converge, sin embargo, tanto Wolfram Alpha y mi instructor de reclamaciones de la convergencia de esta serie puede ser demostrado mediante la prueba de comparación. Sin embargo, estoy teniendo problemas para determinar una secuencia para comparar.

Answer 1

Usted puede utilizar el hecho de que $\sin x<x$ cuando $x>0$, que $\sin\dfrac 1 {n^2} < \dfrac 1 {n^2}$. Entonces citan la "prueba de comparación".

Su conclusión que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin \frac 1 {n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ es demasiado: "menor que" más bien debería decir que "igual a".

Answer 2

Use para

Answer 3

Después de la respuesta de Michael Hardy, intentemos encontrar un destino mejor para la suma.

Usando la expansión de Taylor $\sin(x)$ y reemplazar $x$ $\frac 1{n^2}$, tenemos $$\sin( \frac 1{n^2})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i+1)!}\frac 1 {n^{4i+2}}$$ $$S=\sum_{n=1}^\infty\sin( \frac 1{n^2})=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i+1)!}\sum_{n=1}^\infty\frac 1 {n^{4i+2}}$$ and noting $$A_i=\sum_{n=1}^\infty\frac 1 {n^{4i+2}}=\zeta ( 4 i+2)$$ with $$A_0=\frac{\pi ^2}{6}$$ $$A_1=\frac{\pi ^6}{945}$$ $$A_2=\frac{\pi ^{10}}{93555}$$ When $i$ increases $A_i\to 1$. So, as an approximation $$S\approx\frac{\pi ^2}{6}-\frac 1{3!}\frac{\pi ^6}{945}+\frac 1{5!}\frac{\pi ^{10}}{93555}+\sum_{i=3}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i+1)!}=\frac{\pi ^2}{6}-\frac 1{3!}\frac{\pi ^6}{945}+\frac 1{5!}\frac{\pi ^{10}}{93555}+\sin (1)-\frac{101}{120}$$ This approximation gives $S\approx 1.483522829$ while the correct value should be $\approx 1.483522817$