$\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2)$ es un campo o a un dominio integral

Question

En pasos en álgebra conmutativa de Sharp, problema 3.24 implica $\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2)$ es un dominio integral. ¿Pero es un campo? Puesto que el ideal es irreducible, no puedo encontrar un ideal más grande.

Answer 1

El % ideal $I=(x^2+y^2+z^2)$es homogéneo por lo que el anillo $\mathbb R[x,y,z]/I$ es un anillo graduado, con grados en $\mathbb N_0$. En particular, sólo sus elementos del grado $0$ - que son los escalares - pueden ser inversible. Puesto que el anillo no es sólo $\mathbb R$ (por ejemplo, es de su componente homogéneo de grado $1$ $3$-dimensional) no es un campo.

Answer 2

Usted debe tomar $(x^2,y^2,z^2)$ que es mayor que $(x^2+y^2+z^2)$.