Si $p$ es primo, ¿existe un entero positivo $k$ tal que $2^k\,p+1$ también es primo?

Question

Un primer $p$ tal que $2\,p+1$ es también el primer se llama Sophie Germain prime. Se cree que hay infinitamente muchos de esos números primos. Esto me impulsó a hacer la siguiente pregunta: dado un primer $p$, existe un entero positivo $k$ tal que $2^k\, p+1$ es primo? Definir $\lambda(p)$ a ser el más pequeño tal $k$ si es que existe, $\infty$ lo contrario. Si $p$ es un Sophie Germain prime, a continuación,$\lambda(p)=1$. La función de $\lambda$ no parece tener ninguna regularidad, salvo en los siguientes casos: $\lambda(p)$ es que aun si y sólo si $p\equiv1\mod3$. Los valores para los 100 primeros números primos:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 6, 1, 1, 8, 2, 1, 2, 583, 1, 5, 4, 2, 3, 2, 2, 
1, 1, 2, 3, 16, 3, 6, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 8, 2, 7, 1, 1, 4, 1, 2,
15, 2, 20, 8, 11, 6, 1, 1, 36, 1, 279, 29, 3, 4, 2, 1, 30, 1, 2, 9,
4, 7, 4, 4, 3, 10, 21, 1, 12, 2, 14, 6393, 11, 4, 3, 2, 1, 4, 1, 2,
6, 1, 3, 8, 5, 6, 19, 3, 2, 1, 2, 5, 1, 5, 4, 8

Algunos valores extremos: $\lambda(2\,897)=9\,715$, $\lambda(3\,061)=33\,288$. Hay varias preguntas que pueden hacerse acerca de la $\lambda$:

1. Es $\lambda(p)<\infty$ para todos los números primos $p$?
2. Es $\lambda$ delimitada?

3. Puede algo ser dicho sobre el comportamiento asintótico como $N\to\infty$ de la media $$ \Lambda(N)= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\lambda(p_n),\quad N\in\mathbb{N}, $$ donde $p_n$ $n$- ésimo primo? Aquí es un gráfico de $\Lambda(N)$$1\le N\le700$.

   

Answer 1

En realidad $\lambda$ podría no ser finito, por ejemplo, $271129$ es el primer y $271129 \cdot 2^k+1$ nunca es primo. Este es un caso especial de un número de Sierpinski. Cada número en el conjunto $\{271129 \cdot 2^k+1\}$ es divisible por un número en el conjunto $\{3, 5, 7, 13, 17, 241\}$.