Conjunto es convexo independientemente de b

Question

Ser convexo, deje la función $f$ $f :\Bbb R^n \rightarrow \Bbb R$ y #% de que %#% $

La Proposición afirma que el conjunto de $$S = \{x : f(x) \le b\}$ es convexo independientemente de $S$. ¿Puede alguien explicarme cómo esta proposición es todo $b$?

Answer 1

Que $x, y \in S$. Por definición de un conjunto convexo, deberá demostrar que el % de puntos $λx+(1-λ)y$en $S$ para cualquier $λ\in[0,1]$. Así que, por definición de $S$ necesita mostrar que $f(λx+(1-λ)y)\le b$. Desde entonces, la función $f$ es convexo tiene que $$f(λx+(1-λ)y)\overset{f\text{ convex}}\le λf(x)+(1-λ)f(y)\overset{x,y\in S}\le λb+(1-λ)b=b$ $

Answer 2

Fijar $b$ cualquier número real, entonces estudio $S$ (con $b$ fijadas).

1. Si está vacía, es convexo,
2. If no, $x,y \in S$ y $\mu \in [0,1]$, entonces ¿qué pasa con $\mu x + (1-\mu) y$? Sólo cálculo $f(\mu x + (1-\mu) y) <= \mu f(x) + (1-\mu)f(y)$ de convexidad de $f$ y luego ya $x,y\in S$, $f(x),f(y) \leq b$ (por definición). Así $\mu f(x) + (1-\mu)f(y) \leq \mu b + (1-\mu) b = b$.

Así que independientemente del valor real $b\in\mathbb{R}$, $S$ es convexo (pero $b$ es fijo).