¿Cómo visualizar real proyectivo $n$-espacio?

Question

Lo que estoy pidiendo es la forma de visualizar esto.

Definición. Definir una relación de equivalencia en $S^n$ $x \sim \pm x$ todos los $x \in S^n$. A continuación, el cociente del espacio de $S^n/ \sim$ se llama el (verdadero) proyectiva $n$-espacio y se denota $P^n$.

Profesor dio una construcción de $P^2$ y mostró que era como el encolado de una banda de Möbius a los bordes de un disco.

Sin embargo, él era incapaz de decir lo $P^3$ se construiría en general y, a continuación, él dijo que hay grandes problemas en la (real) espacios proyectivos y dijo que es difícil de visualizar.

Intuitivamente hablando, me siento como $P^3$ sería un Möbius botella y que son pegando en una sólida bola. Bien encolado de que sobre la superficie de un sólido bola.

De todos modos, la manera intuitiva de visualizar este espacio en las dimensiones superiores?

Por favor, ¿puede describir en términos de los objetos topológicos. En un camino no me importa mucho acerca de la realización de la encolado. Así, sería ideal que quiere saber de qué se parece decir que se ve como una cinta de Moebius con un disco. Incluso si el encolado de sí mismo que necesita para construir algo que se intersecta a sí mismo tres veces en un punto.

Answer 1

Proyectiva $2$-espacio, como su profesor señala, puede ser pensado como un disco con una banda torcida adjunta, para que otro disco está conectado a lo largo de la frontera. Esto se generaliza a dimensiones superiores usando el lenguaje de la manija de la teoría. En general, en $n$ dimensiones, una $k$mango es homeomórficos a $D^k\times D^{n-k}$ (que en sí es homeomórficos a $D^n$ donde $D^\ell$ denota una cerrada $\ell$-dimensiones del disco. La anexión de la región de $k$mango es $(\partial D^k)\times D^{n-k}= S^{k-1}\times D^{n-k}$. Usted puede construir hasta $n$-colectores con controles al tomar primero una unión de $0$-asas, luego adjuntar $1$-maneja hasta el límite de la $0$-maneja a lo largo de la fijación de las regiones de la $1$-asas. En general, uno tiene todas las $\leq k$-asas, adjuntar $(k+1)$-asas a los límites de lo que hasta ahora, a lo largo de la fijación de las regiones de la $(k+1)$-asas. Ahora en $2$ dimensiones, una $0$-asa es un disco, un $1$-asa es una franja rectangular cuya fijación de la región es de dos extremos opuestos de la tira, y un $2$-asa es un disco con toda su límite como una fijación de la región. A continuación, el plano proyectivo puede ser escrito como una sola $0$-gestionar, a fin de que una sola $1$-manejar adjunta (con un giro), para que una sola $2$-manejar adjunta. De hecho, cada superficie tiene un mango de descomposición. De hecho, cualquier liso colector tiene una descomposición.

Ahora, para proyectiva $n$espacio $\mathbb{RP}^n$, se puede demostrar que no es un identificador de descomposición con un solo $k$-asa para cada $0\leq k\leq n$. Una forma de ver esto es la construcción de un mango de descomposición de la esfera, con dos de cada índice de manejar, de tal manera que el cociente por $x\sim -x$ identifica las asas en pares.

Específicamente para $\mathbb{RP}^3$, en primer lugar usted puede pensar en esto un cociente de $D^3$ mediante la identificación de antipodal puntos en $\partial D^3=S^2$. Que no es una mala manera de visualizar, pero para llegar a la manija de la descomposición, poner un poco de $0$-mango (pelota) en el medio de la $D^3$. A continuación, extender una $1$-mango (sólido tubo) a $\partial D^3$ a lo largo de la $x$-eje, que luego sale por el otro lado a lo largo de la negativa $x$-eje para conectar de nuevo a la $0$-manejar. Ahora coloque una $2$-mango (penny) para llenar en un barrio de la $xy$-plano. (Usted tiene que convencerse de que esto realmente es homeomórficos a $D^2\times I$.) Así que ahora rellene el resto con un $3$-mango (3-bola), que se une a la parte superior de $D^3$ con la parte inferior utilizando el límite de las identificaciones. Supongo que se podría decir que la unión de $0$ $1$- asa es un sólido Möbius botella, pero también se debe a la cola en la $2$-manejar antes de completar mediante la adición de una pelota.