¿Qué utilidad tiene la noción de adjunto de dos functores?

Question

¿Existe un secreto o una idea intuitiva detrás del hecho de crear el concepto de adjunción de dos functores ( Functor - Adjoint Functor ) ? ¿Cuál es la utilidad de esta noción de adjunto de dos functores?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Tengo al menos dos respuestas para esto.

Toda adjunción prepara una equivalencia de categorías.

En concreto, si $(F,G,\eta,\varepsilon) : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es una adjunción, sea $\mathsf{Fix}(\eta) \subseteq \mathcal{C}$ denotan la subcategoría completa de objetos $X \in \mathcal{C}$ tal que $\eta(X) : X \to G(F(X))$ es un isomorfismo. Definimos $\mathsf{Fix}(\varepsilon) \subseteq \mathcal{D}$ análogamente. Entonces, $F,G$ se restringen a una equivalencia de categorías $$\mathsf{Fix}(\eta) \simeq \mathsf{Fix}(\varepsilon).$$ Esto también es útil en el caso de las preórdenes, donde las adjunciones se conocen como Conexiones de Galois . Muchas equivalencias famosas de categorías surgen de esta manera (y esto parece que se mantiene como un secreto).

• El teorema principal de la teoría de Galois
• Nullstellensatz de Hilbert
• El teorema de Gelfand-Naimark
• La dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos
• La dualidad de los espacios vectoriales de dimensión finita
• Dualidad de Pontrjagin
• Teorema principal de Grothendieck Teoría de Galois
• ...

Por supuesto, en todos estos teoremas, lo difícil es determinar los objetos fijos. Pero el marco para estos teoremas lo proporcionan las adjunciones básicas.

Los colindantes izquierdos son cocontinuos.

Es decir, si $F$ es adjunto por la izquierda a un functor $G$ entonces $F$ preserva los colímites. Esto es un hecho estándar, y es fácil de demostrar, pero subsume cientos de isomorfismos concretos con los que te has encontrado (o te encontrarás). Por ejemplo, $$S^{-1}(\bigoplus_i M_i) \cong \bigoplus_i S^{-1} M_i$$ (localización de módulos) es una consecuencia formal, al igual que $$(G * H)^{\mathrm{ab}} \cong G^{\mathrm{ab}} \oplus H^{\mathrm{ab}}$$ (abelianización de grupos). No tenemos que calcular nada para obtener estos isomorfismos.

El producto tensorial es exacto por la derecha ya que el tensado con algún módulo tiene un adjunto por la derecha, el functor hom (interno). No tenemos que jugar con los cokernels, como se hace en muchos textos que evitan los adjuntos y demuestran la exactitud directa.

Existe incluso una especie de inversa de este resultado general, a saber, el teorema general del functor adjunto de Freyd: Todo functor cocontinuo que tiene un conjunto solución (que es una condición teórica de conjuntos bastante suave) es un adjunto izquierdo. Así pues, la preservación de los colímites por los adjuntos a la izquierda (y, a la inversa, de los límites por los adjuntos a la derecha) es quizá uno de sus principales objetivos.

Answer 2

Lo mejor es fijarse en algunos de los ejemplos más obvios de adjunciones para hacerse una idea de lo que hacen. Por ejemplo, en cualquier categoría algebraica (grupos, espacios vectoriales, etc.) un adjunto a la izquierda del functor olvido es un functor libre. Esto da una definición formal de lo que significa que un objeto sea "libre".

Otro caso muy frecuente es el de los límites (o colímites). Si existe un (co)límite para todos los diagramas de una forma determinada, se define una unión. Los límites y colímites son frecuentes en todas las áreas de las matemáticas, por lo que sólo con ellos ya se puede ver que las adjunciones están en todas partes.

Otro buen ejemplo es un adjunto tensor-hom . Esto formaliza la idea intuitiva de un "objeto de mapeos" entre dos objetos cualesquiera. En una categoría monoidal, si se tiene un adjunto derecho al functor $(-)\otimes X$ para cualquier objeto $X$ se denomina hom interno. Si existe tal adjunto derecho, se dice que la categoría es monoidal cerrada.

Esta es una propiedad muy impresionante para una categoría a tener, sobre todo porque le permite curry flechas de productos monoidal. Por ejemplo, en la categoría de módulos de anillos conmutativos, el hom interno obvio corresponde al producto tensorial. En la categoría de conjuntos, es la función habitual conjuntos. Si se trabaja en una categoría conveniente de espacios topológicos (como k-espacios) que es cerrado con respecto al producto cartesiano, entonces usted puede decir cosas como "una homotopía $H$ entre dos caminos $a$ , $b$ en un espacio $X$ es una trayectoria en el espacio de trayectorias $X^{[0,1]}$ unirse a $a$ a $b$ ."