Círculo de Apolonio, su radio y centro

Question

Tengo el siguiente conjunto: $\{|z-a|=k|z-b|\}$, donde z es un número complejo, a y b son fijos, y $k>0$, $k \ne 1$.
Necesito demostrar que esto es un círculo (llamado círculo de Apolonio). También tengo que demostrar que el radio de este círculo es igual a $k|a-b||1-k^2|^{-1}$ y su centro es $(a-k^2b)(1-k^2)^{-1}$.
No sé qué hacer. He intentado trabajar con la ecuación analítica de círculo ($|z-c|^2=r^2$), sustituyendo el radio y el centro dados, pero no funcionó.
También intenté elevar al cuadrado ambos lados de la primera ecuación dada ($|z-a|=k|z-b|$), lo cual suele funcionar con números complejos, pero tampoco obtuve ningún resultado... ¿Alguien puede mostrarme cómo resolver este problema? Estaré muy agradecido.

Answer 1

El álgebra es complicada pero directa. Deja $z=x+i y$, $a=a_r+i a_i$ y $b=b_r+i b_i$. Eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria para obtener

$$ (x-a_r)^2+(y-a_i)^2 = k^2 (x-b_r)^2 + k^2 (y-b_i)^2 $$

Reordena y expande para obtener

$$ (1-k^2) x^2 + (1-k^2) y^2 - 2 (a_r-k^2 b_r) x - 2 (a_i - k^2 b_r) y + |a|^2-k^2 |b|^2 = 0 $$

Ahora completa el cuadrado. Aquí es donde se complica.

$$ \begin{align} (1-k^2) \left ( x-\frac{a_r-k^2 b_r}{1-k^2}\right )^2 + (1-k^2) \left ( y-\frac{a_i-k^2 b_i}{1-k^2}\right )^2 \\ = \frac{(a_r-k^2 b_r)^2+(a_i-k^2 b_i)^2}{1-k^2} - (|a|^2-k^2 |b|^2)\\ = \frac{|a|^2 + k^4 |b|^2 - 2 k^2 (a_r b_r+a_i b_i) - (|a|^2-k^2 |b|^2)(1-k^2)}{1-k^2}\\ = \frac{k^2 (|a|^2+|b|^2) - 2 k^2 (a_r b_r+a_i b_i)}{1-k^2}\\ = \frac{k^2}{1-k^2} |a-b|^2 \end{align} $$

A partir de aquí, espero que quede claro que lo anterior se reduce a, en notación compleja:

$$ \left |z-\frac{a-k^2 b}{1-k^2}\right| = \frac{k}{1-k^2} |a-b| $$

Entonces, un círculo con centro $$\frac{a-k^2 b}{1-k^2}$$ y radio $$\frac{k}{1-k^2} |a-b|$$

Answer 2

Escribe $w = (z-a)/(z-b) $. Entonces $\left|w\right| = k$, y así, el lugar geométrico de $w$ es $C(0, k)$, donde $C(c, r)$ es el círculo de radio $r$ centrado en $c$. Entonces $z$ como una función de $w$ puede ser escrita como una cadena de composiciones:

$$ w \quad \xrightarrow{\zeta \mapsto \zeta -1} \quad w-1 \quad \xrightarrow{\zeta\mapsto\frac{1}{\zeta}} \quad \frac{1}{w-1} \quad \xrightarrow{\zeta \mapsto b + (b-a)\zeta} \quad b + \frac{b - a}{w - 1} = z. $$

Ahora seguimos cómo se transforma $C(0, k)$ en el plano de $w$ bajo estos mapas.

1. Bajo el primer mapa, $C(0, k)$ se transforma en $C(-1, k)$.

2. Si creemos que la inversión $\zeta \mapsto \frac{1}{\zeta}$ conserva círculos, podemos imaginar que la imagen de $C(-1, k)$ bajo la inversión es un círculo con dos puntos antipodales $\frac{1}{-1-k}$ y $\frac{1}{-1+k}$. Así que su centro sería $\frac{1}{k^2-1}$.

   De hecho, parametrizamos $\zeta \in C(-1, k)$ por $\zeta = k \omega - 1$ para $\left|\omega\right| = 1$. Entonces \begin{align*} \left| \frac{1}{\zeta} - \frac{1}{k^2 - 1} \right| = \left| \frac{k}{k^2-1} \right| \left| \frac{k - \omega}{k\omega - 1} \right| = \left| \frac{k}{k^2-1} \right| \left| \frac{k - \omega}{k - \overline{\omega}} \right| = \left| \frac{k}{k^2-1} \right|, \end{align*} y así, $C(-1, k)$ se transforma en $C(\frac{1}{k^2-1}, \frac{k}{\lvert k^2-1 \rvert})$

3. Bajo el tercer mapa, $C(\frac{1}{k^2-1}, \frac{k}{\left|k^2-1\right|})$ se transforma en $C(\frac{k^2b-a}{k^2-1}, \frac{k\left|b-a\right|}{\left| k^2-1 \right|})$.

Por lo tanto, el conjunto $\{z : \left| z - a \right| = k \left| z - b \right| \}$ es el círculo de radio $\frac{k\left|b-a\right|}{\left| k^2-1 \right|}$ centrado en $\frac{k^2b-a}{k^2-1}$.

Answer 3

Esta es una publicación antigua, pero quería ver si el cálculo podía ser iluminado desempaquetando a coordenadas reales más tarde, y resolviendo una ecuación más simple. Después de hacer esto, muestro cómo hacer el cálculo sin desempaquetar a coordenadas reales.

Queremos demostrar que el conjunto de $z$ que satisface $|z - a| = k |z - b|$ forma un círculo.

Podemos simplificar nuestro cálculo observando que la traslación preserva círculos. Podemos trasladar a $w = z - b$ y resolver la ecuación $|w - A| = k|w|$, donde $A = a - b$, y luego trasladar nuestra solución de vuelta a $z$.

Nota que $$|w-A|^2 = (w-A) (\overline{w-A}) = |w|^2 - 2 \mathrm{Re}(\bar{A}w) + |A|^2.$$ Esta es una versión de la identidad de polarización, observando que $\mathrm{Re}(\bar{A} z)$ es el producto escalar euclidiano entre $A$ y $z$.

Luego vemos

\begin{align*} |w - A| = k |w| &\Longrightarrow |w - A|^2 = k^2 |w|^2 \\ &\Longrightarrow |w|^2 - 2 \mathrm{Re}(\bar{A}w) + |A|^2 = k^2 |w|^2 \\ &\Longrightarrow (1 - k^2)|w|^2 - 2\mathrm{Re}(\bar{A} w) + |A|^2 = 0 \ \ \ (\star) \end{align*}

Sea $w = x + i y$ y $A = A_x + i A_y$. Si $k \neq 1$, entonces \begin{align*} (\star) &\Longrightarrow |w|^2 - \frac{2}{1 - k^2} \mathrm{Re}(\bar{A}w) + \frac{|A|^2}{1 - k^2} = 0 \\ &\Longrightarrow x^2 + y^2 - \frac{2 A_x}{1 - k^2}x - \frac{2 A_y}{1 - k^2}y + \frac{|A|^2}{1 - k^2} = 0 \end{align*}

Completar el cuadrado muestra que los conjuntos determinados por una ecuación en la siguiente forma son siempre círculos (posiblemente degenerados). \begin{align*} x^2 + y^2 + Ex + Fy + G = 0 \Rightarrow (x + \frac{E}{2})^2 + (y + \frac{F}{2})^2 = \frac{E^2 + F^2}{4} - G. \end{align*}

Reemplazando los coeficientes en esta fórmula con los de nuestra expresión anterior, encontramos \begin{align*} \left(x - \frac{A_x}{1 - k^2} \right)^2 + \left(y - \frac{A_y}{1 - k^2}\right)^2 = \frac{A_x^2 + A_y^2}{(1 - k^2)^2} - \frac{|A|^2}{1 - k^2} = \left( \frac{k |A|}{|1 - k^2|} \right)^2 \end{align*}

Dado que $A = a - b$, confirmamos que el radio es $r = k\frac{|a - b|}{|1 - k^2|}$. En forma compleja, encontramos $$|w - \frac{a - b}{1 - k^2}| = \frac{k|a - b|}{|1 - k^2|},$$ Al traducir de vuelta a $z$, encontramos $$|z - \frac{a - b k^2}{1 - k^2}| = \frac{k|a - b|}{|1 - k^2|},$$ lo que muestra que el centro es $c = \frac{a - b k^2}{1 - k^2}$.

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Hay un cálculo más elegante que no se desempaqueta a coordenadas reales. Utiliza nuevamente la identidad de polarización, que sirve como un sustituto complejo para completar el cuadrado: $$|z|^2 - 2 \mathrm{Re}(\bar{d}z) = |z - d|^2 - |d|^2$$

A partir de $(\star)$, \begin{align*} 0 &= |w|^2 - 2\mathrm{Re}(\frac{\bar{A}}{1 - k^2}w) + \frac{|A|^2}{1 - k^2} \\ &= | w - \frac{A}{1 - k^2} |^2 - |\frac{A}{1 - k^2}|^2 + \frac{|A|^2}{1 - k^2}, \end{align*} lo cual implica \begin{align*} | w - \frac{A}{1 - k^2} |^2 = \left( \frac{k |A|}{1 - k^2} \right)^2. \end{align*} Luego podemos finalizar como antes.