¿Cómo se determina el número de ramas de$f(z)$ =$\sqrt{z(1-z)}$ en el conjunto$\Omega$ =$\mathbb{C}$ \ [0,1]?
Y luego probar que$f(z) = \sqrt{z} + \sqrt{1-z}$ en el mismo conjunto, ¿no tiene ramas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La función de $z \mapsto z(1-z)$ es no-cero en $\Omega$, por lo que hay dos de un solo valor de la analítica de las ramas, en el simplemente se conecta el dominio $\Omega \setminus (1,\infty) = \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$. Ahora si continúa la función a lo largo de un círculo de radio $R>1$ desde el límite superior de la rama cortada $(1,\infty)$ a su límite inferior, tanto en $\sqrt{z}$ $\sqrt{1-z}$ recoger una fase factor de $-1$, lo $f$ como sus cambios de producto por una fase factor de $(-1)^2 = 1$, es decir, no en todos. Esto demuestra que ambas ramas de $f$ son analíticas en $\Omega$.
Usted puede seguir casi el mismo argumento para la segunda función, excepto que en este caso la función como una suma de dos raíces cuadradas, que tanto el pick up de una fase factor de $-1$, también cambia por una fase factor de $-1$. Así que en este caso no es continua, y por lo tanto no hay rama analítica de la función en $\Omega$.
