El valor esperado es igual a la suma de las probabilidades

Question

Permita que$X$ sea una variable aleatoria que tome valores enteros no negativos. Muestre eso,$$E[X] = \sum^{\infty}_{k=1}P(X \geq k)$ $

Tengo problemas para seguir la solución. ¿Alguien podría ayudar a aclarar algunos pasos? Gracias.

Por definición,$$P(X \geq k) = \sum^{\infty}_{i=k}p_{X}(i)$ $

Por lo tanto, sustituimos para obtener$$\sum^{\infty}_{k=1}P(X \geq k) = \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i=k}^{\infty}p_{X}(i)$ $

Ahora aquí es donde estoy confundido. ps

No entiendo cómo estamos manipulando las sumas en la primera igualdad y cómo obtenemos$$\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i=k}^{\infty}p_{X}(i) = \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{i}p_{X}(i) = \sum^{\infty}_{i=1}ip_{X}(i)$ en la segunda igualdad.

Answer 1

\begin{array} & & 0P(X=0) & + & 1P(X=1) & + & 2 P(X=2) & + & 3P(X=3) & + & \cdots \\[18pt] = & & & P(X=1) & + & P(X=2) & + & P(X=3) & + & \cdots \\ & & & & + & P(X=2) & + & P(X=3) & + & \cdots \\ & & & & & & + & P(X=3) & + & \cdots\\ & & & & & & & & + & \cdots \end{array}

La suma de la primera fila es $P(X>0)$; que en la segunda fila es $P(X>1)$; que en la tercera fila es $P(X>2)$, y así sucesivamente.

La igualdad de $$ \sum_{k=1}^\infty \sum_{i=k}^\infty \cdots = \sum_{i=1}^\infty \sum_{k=1}^i \cdots $$ puede ser visto por la observación de que ambos son la suma del conjunto $$ \{ (k,i) : 1\le k \le i \}. $$

La siguiente igualdad consiste en una suma de la forma $\displaystyle\sum_{k=1}^i a$ donde $a$ no cambia como $k$$1$$i$, por lo que es $$ \underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{i\text {}} = ai. $$

Answer 2

Quizás pueda mostrar la identidad puntual $$ X = \ sum_ {k = 1} ^ X1 = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ mathbf 1_ {X \ geqslant k} $$ y utilice la linealidad de la expectativa.