Cómo probar eso
$1+2(\cos a)(\cos b)(\cos c)-\cos^2 a-\cos^2 b-\cos^2 c=4 (\sin p)(\sin q) (\sin r)(\sin s)$,
dónde
$p=\frac{1}{2}(-a+b+c)$,$q=\frac{1}{2}(a-b+c)$,$r=\frac{1}{2}(a+b-c)$,$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.
Gracias.
Respuesta
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Utilizar
$$ \begin{eqnarray} 2 (\sin p)(\sin q) &=& \cos(p-q) - \cos(p+q) \\ 2 (\sin r)(\sin s) &=& \cos(r-s) - \cos(r+s) \\ \end {eqnarray} $$
Luego use $$ \begin{eqnarray} \cos(p-q) \cos(r-s) &=& \frac{1}{2}( \cos(p+s-q-r) + \cos(p+r - s-q)) \\ \cos(p+q) \cos(r-s) &=& \frac{1}{2}( \cos(p+s+q-r) + \cos(p+r - s+q)) \\ \cos(p-q) \cos(r+s) &=& \frac{1}{2}( \cos(p-s-q-r) + \cos(p+r +s-q)) \\ \cos(p+q) \cos(r+s) &=& \frac{1}{2}( \cos(p-s+q-r) + \cos(p+r +s + q)) \end {eqnarray} $$ Ahora use expresiones para$p$,$q$,$r$,$s$ en términos de$a$, $b$,$c$.
