Permita que$C$ sea una categoría pequeña, y permita que$\tau$ sea un conjunto de tamices en$C$. Supongamos que$\tau$ contiene todos los tamices máximos y es estable bajo los retrocesos. ¿Cómo describir la topología de Grothendieck$\tau'$ generada por$\tau$ explícitamente? Supongo que$$\tau'(X) = \{T \text{ sieve on } X : \exists S \in \tau(X) \forall (a : Y \to X)\in S \,(a^* (T) \in \tau(Y))\}$ $ funciona, pero no estoy seguro. Tal vez tenemos que repetir esto.
Respuestas
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Aquí está a un paso de la construcción. Decir $\tau$-árbol en un objeto $X$ $\mathcal{C}$ es un conjunto $\Phi$ que satisface las siguientes condiciones:
- Cada elemento de a $\Phi$ es una que se puede componer la secuencia de morfismos en $\mathcal{C}$, decir $(f_1, \ldots, f_n)$, de tal manera que (a$f_1 \circ \cdots \circ f_n$ está definido y) $\operatorname{codom} f_1 = X$.
- La secuencia vacía es en $\Phi$.
- Si $(f_1, \ldots, f_n, f_{n+1}) \in \Phi$$(f_1, \ldots, f_n) \in \Phi$.
- Para cada $(f_1, \ldots, f_n) \in \Phi$, $$\{ u : (f_1, \ldots, f_n, u) \in \Phi \}$$ está vacío o una $\tau$-tamiz. (Si este conjunto es vacío, podemos decir $(f_1, \ldots, f_n)$ es una hoja de $\Phi$.)
- Cada elemento de a $\Phi$ se produce como un prefijo de la hoja de $\Phi$.
Ahora, decir $\tau$-cubierta del tamiz en $X$ es una criba en $X$ que contiene $$\{ f_1 \circ \cdots \circ f_n : (f_1, \cdots, f_n) \text{ is a leaf of } \Phi \}$$ para algunos $\tau$-árbol de $\Phi$$X$. Yo se lo dejo a usted para comprobar que esto define el más pequeño de Grothendieck la topología en $\mathcal{C}$ que contiene $\tau$.
notpeter
Puntos
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Sí, parece que tiene que recorrer. Acaba de tomar un número finito de la cadena en la que todos los morfismos entre los objetos genera una cubierta del tamiz, así como de las identidades. Entonces este es estable bajo retroceso porque cada trivial de la cubierta se retira a un trivial de la cubierta, pero si hay al menos tres elementos, a continuación, el $\tau'$ sugiere usted pierde el único elemento del tamiz por el cual el elemento inicial cubre el final.
EDITAR veo ningún obstáculo para la elección de un arbitrario bien conjunto ordenado de aquí, y comenzando con la más trivial de tamices, de modo que un ordinal límite está cubierta por los mapas de todos los estrictamente menor ordinales. Así que incluso transfinitely el número de iteraciones puede ser requerido.
