Mis antecedentes son el análisis funcional más que la probabilidad, pero me gustaría entender qué es un movimiento Browniano. A continuación doy mi comprensión actual, ¿puede alguien verificar si estoy en lo cierto? Gracias.
El movimiento Browniano canónico $ \mathbf {B}$ es un espacio $C([0, \infty ), \mathbb {R}^n)$ equipado con una cierta medida de probabilidad. Podemos escribirlo como $ \mathbf {B}= (B_t)_{t \geq 0}$ donde $B_t ( f ) = f(t)$ para todos $f \in C([0, \infty ), \mathbb {R}^n)$ . La medida viene dada por $$P \big ( \bigcap_ {j=1}^{k} B_{t_j}^{-1}(F_j) \big ) = \int_ {F_1 \times \ldots \times F_k} p(t_1, x, x_1) \ldots p(t_k - t_{k-1}, x_{k-1}, x_k) \mathrm {d}x_1 \ldots \mathrm {d} x_k,$$ donde $$ p(t,x,y) = (2 \pi t)^{- \frac {n}{2}} \exp\big ( - \frac {| x- y|^2}{2t} \big )$$ para $y \in \mathbb {R}^n$ y se define en un $ \sigma -$ campo $ \sigma ( \{ B_t \colon t \geq 0\})$ . De esta definición podemos concluir que $B_t$ es un proceso Gaussiano, es decir, que para todos $0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_k$ la variable aleatoria $(B_{t_1}, \ldots , B_{t_k}) \in \mathbb {R}^{nk}$ tiene una distribución normal. $B_t$ tiene incrementos independientes, y $t \mapsto B_t(f) = f(t)$ es continuo y por lo tanto muestra que el movimiento Browniano canónico tiene propiedades que definen el movimiento Browniano usual - como un proceso de Wiener.
