Formalmente etale implica plana para noetherian esquemas?

Question

Esta es una respuesta a una pregunta anterior me preguntó: ¿formalmente etale implica plana? Después de algunos comentarios que he recibido en MO me di cuenta de que ésta respondió a la negativa por parte de una respuesta a una pregunta anterior hay un ejemplo de una formalmente liso de morfismos que no es suave. Sin embargo, el simple ejemplo es el de un no-noetherian anillo (de hecho, un anillo perfecto; estos son raramente noetherian a menos que sean un campo).

Así que mi reto es proporcionar un ejemplo de un formalmente etale mapa de noetherian los esquemas, que no es plana, o de lo contrario, la prueba de que para los mapas de noetherian regímenes formalmente etale implica el plano.

Answer 1

Cada formalmente liso de morfismos entre localmente noetherian esquemas es plana; este es un profundo resultado de Grothendieck. De hecho, la formal, la suavidad es preservada por la localización en blanco, y luego lo mismo en la fuente, por lo que podemos asumir que estamos de acuerdo con un mapa local entre lo local noetherian anillos. Por EGA 0$_{\rm{IV}}$, 19.7.1 (también demostró que cerca del final de Matsumura, el libro de anillo conmutativo teoría) formalmente liso mapa local entre lo local noetherian anillos es plana.