Mostrar$f(x,y)$ satisface la condición de Lipschitz con respecto a$y$

Question

Para demostrar que un determinado ODE tiene una solución única, quiero mostrar que la función$f(x,y)=x\sin |y|-(x^2-2) \arctan y$ satisface la condición de Lipschitz con respecto a$y$.

Mi intento : dejar$D=(\alpha,\beta)\times(-\infty,\infty)$,$\alpha<\beta$. Necesitamos mostrar que existe$L$ tal que$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L |y_1-y_2|$ se mantiene para todos$(x,y_1)$ y$(x,y_2)$ en$D$.

ps

El problema es con el término$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|x\sin |y_1|-(x^2-2)\arctan y_1-x\sin|y_2|+(x^2-2)\arctan y_2|\\\leq |x| |\sin|y_1|-\sin|y_2||+|x^2-2| |\arctan y_1 - \arctan y_2|\leq \\ \leq 2 |x| \left |\sin \left(\frac{|y_1|-|y_2|}{2} \right) \right |\left |\cos \left(\frac{|y_1|+|y_2|}{2} \right) \right |+|x^2-2| |\arctan y_1 - \arctan y_2|\leq \\ \leq |x| |y_1 - y_2| + |x^2-2| |\arctan y_1 - \arctan y_2|\leq |x| |y_1 - y_2| + |x^2-2| |\arctan y_1 - \arctan y_2|$. No puedo pensar en una forma de obtener un límite adecuado para eso, es algo así como$|x^2-2| |\arctan y_1 - \arctan y_2|$. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

En general, es mejor dividir el problema en partes simples. Creo que estas dos declaraciones ayudará a:

1. Si $f$ $g$ son de Lipschitz, a continuación, $h=\alpha f+\beta g$ $\alpha,\beta\in\mathbb R$ también es de Lipschitz. Esto es evidente a partir de la desigualdad de triángulo: $$\begin{align} \lVert h(x_1)-h(x_2)\rVert&= \lVert\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-\left(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2)\right)\rVert \\ & = \lVert\alpha\left(f(x_1)-f(x_2)\right)+\beta\left(g(x_1)-g(x_2)\right)\rVert \\ & \le |\alpha|\cdot\lVert f(x_1)-f(x_2)\rVert+|\beta|\cdot\lVert g(x_1)-g(x_2)\rVert \end{align}$$
2. Si $g$ es analítico y $\lVert g'(x)\rVert\le L$ todos los $x$, $g$ es de Lipschitz (ver aquí, la primera frase).

Para mostrar que $f(x,y)=x\sin{|y|}-(x^2-2)\arctan{y}$ es de Lipschitz con respecto a $y$, la primera nota de que, dado que sólo se preocupan de $y$, $x$ pueden ser fijas. También sabemos que el $\arctan{y}$ es analítica en $\mathbb R$ y sus derivados, $\frac{1}{1+y^2}$ siempre es positivo y tiene un máximo en $y=0$.

Parece que solo tenemos que mostrar que $\sin{|y|}$ es Lipshitz. El seno es una función impar, es decir,$\sin{|y|}=|\sin{y}|$. En este otro post sobre MathSE, se ha demostrado que la $|\sin|$ es de Lipschitz.

Answer 2

Método alternativo:

Como$\arctan $ es diferenciable, por MVT existe$y_0$ entre$y_1,y_2$, de modo que $$ \ left | \ frac {\ arctan y_1 - \ arctan y_2} {y_1 - y_2} \ right | \ \ leq \ \ arctan'y_0 \ = \ \ frac {1} {1 + y_0 ^ 2} \ \ leq \ 1 $$