¿Cómo puedo probar esta declaración? ¿Usaría la inducción?
"Dado$n \geq 11$, muestre que$a_n > (3/2)^{n}$.$a_n$ Es el$n$ th número de Fibonacci."
Respuestas
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Sí, la inducción es el camino a seguir. Suponga que el resultado es cierto para dos enteros consecutivos, $n$ $n+1$ y entonces deducir que debe ser cierto para $n+2$. El resto debe ser fácil, después de encontrar 2 valores consecutivos para que definitivamente es cierto.
Para explicar un poco más:
Suponga que el resultado es cierto para $n$$n+1$, es decir, supongamos que tenemos $a_n > (3/2)^n$$a_{n+1} > (3/2)^{n+1}$.
La suma de estos dos, obtenemos $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n > (3/2)^{n+1} + (3/2)^n = (3/2)^n(3/2 + 1) = (3/2)^n(5/2) > (3/2)^{n+2}$
en el último paso utilizamos el hecho de que $5/2 > 9/4 = (3/2)^2$
Ahora sabemos que si el resultado es cierto para $n$$n+1$, entonces se sigue que es cierto para$n+1$$n+2$.
David HAust
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Sugerencia $\ $ La recurrencia de segundo orden para$\rm\:f(n)\:$ produce uno para$\rm\:f(n)-c^n,\:$, es decir, más generalmente, $$ \begin{eqnarray}\rm &&\rm f(n\!+\!2) &=&\rm\ a\ f(n\!+\!1)\ +\ b\ f(n)\\ \Rightarrow\ &&\rm f(n\!+\!2)-c^{n+2} &=&\rm\ a\,(f(n\!+\!1)-c^{n+1}\!)\ +\ b\,(f(n)-c^n)\ -\ c^n(\color{#C00}{c^2 - a\,c -b})\end {eqnarray} $$
Entonces podemos inferir inductivamente la positividad del LHS de la positividad de los complementos$3\,$ en el RHS, que sigue si$\rm\:a,b,c > 0\:$ y$\rm\:\color{#C00}{f(c)} < 0\:$ para el polinomio característico$\rm\:\color{#C00}{f(x)\, =\, x^2 - a\,x - b}.$
En su caso$\rm\:a,b,c\, =\, 1,1,3/2\, >\, 0,\:$ y$\rm\:\color{#C00}{f(c)} = (3/2)^2\!-3/2-1 =\, \color{#C00}{-1/4} < 0,\:$ para que tenga éxito.
