número de combinaciones sin repetición con suministro limitado

Question

Diga, tengo$1$ bola roja,$1$ azul,$2$ amarillo,$3$ verde, totalmente$7$ bolas. Quiero seleccionar$3$ bolas de ellos. ¿De cuántas maneras puedo hacer esto? Conté manualmente$$123, 124, 133, 134, 144, 233, 234, 244, 334, 344, 444,$$ so $ 11 $ combinations.Is hay una fórmula para ello?

Answer 1

Sí, puede hacerlo con la generación de funciones:
Para el azul o el rojo bolas: $1+x$ (tomar ninguno o uno).
Para la bola amarilla: $1+x+x^2$ (tomar ninguno o uno o dos).
Para la bola verde: $1+x+x^2+x^3$ (tomar ninguno o uno o dos o tres).
Por lo tanto la generación de la función para este problema sería: $$(1+x)^2(1+x+x^2)(1+x+x^2+x^3)=1+4x+8x^2+11x^3+11x^4+8x^5+4x^6+x^7$$ El coeficiente de $x^n$ es exactamente el número de opciones para elegir exactamente $n$ bolas. Aquí, el coeficiente de $x^3$$11$, que es el número de opciones para elegir $3$ bolas.

Answer 2

Tu problema es equivalente con este.

$x_1+x_2+x_3+x_4=3$ dónde

$0\le x_1\le 1,~0\le x_2\le 1, 0\le x_3\le 2,~0\le x_4\le 3$

$0+0+0+3=3$

$0+0+1+2=3$

$0+1+0+2=3$

$1+0+0+2=3$

$0+0+2+1=3$

$0+1+2+0=3$

$1+0+2+0=3$

$0+1+1+1=3$

$1+0+1+1=3$

$1+1+0+1=3$

$1+1+1+0=3$