¿Alguien puede decirme por favor cuál es el "orden" de un automorfismo de un grupo? Hojeo algunos libros pero no encuentro una definición clara de esta noción.
Muchas gracias y le agradezco mucho si me da material sobre el automorfismo...
Si $G$ es un grupo y $g \in G$ , entonces el orden de $g$ , denotado como $|g|$ es el menor no negativo $n$ tal que $g^n = e$ , donde $e$ es la identidad.
La colección de automorfismos de un grupo $G$ , denotado como $\text{Aut}(G)$ es un grupo bajo composición de funciones. El orden $\sigma \in \text{Aut}(G)$ es $|\sigma|$ , es decir, el orden de $\sigma$ como elemento del grupo $\text{Aut}(G)$ .
El orden de un grupo es la cardinalidad de su conjunto subyacente. En el caso de un grupo de automorfismo, es la cardinalidad del conjunto de todos los automorfismos. Es decir, el número de isomorfismos de un grupo particular a su propio grupo. Hay un tipo especial de automorfismo (auto isomorfismo) llamado automorfismo interno. Un automorfismo es un automorfismo interno si es conjugado por un elemento del grupo. Resulta que el conjunto de automorfismos internos es un subgrupo normal del conjunto de automorfismos y, como grupo, es isomorfo a $\frac{G}{Z}$ donde Z es el centro del grupo. El centro de un grupo es el grupo de elementos que conmutan con todo.
Ejercicios:
Demostrar que Inn(G) (grupo de automorfismos internos) es normal en Aut(G). (sólo hay que molerlo)
Demostrar que el centro de un grupo es un subgrupo (normal) de G
Demostrar que Inn(G) es isomorfo a G mod el centro considerando a el mapa natural: $g\rightarrow \chi_g$ , donde $\chi_g$ es la conjugación por g. (demostrar que es un homomorfismo, demostrar que es onto (trivial), encontrar su núcleo, utilizar el 1er teorema del isomorfismo.
Bonus: (Si no conoces el primer teorema de isomorfismo) Sean G, H grupos y $\phi: G\rightarrow H$ sea un homomorfismo suryente. Demostrar que H es isomorfo a G mod el núcleo.
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El más pequeño $n\geq 1$ tal que $f^n$ es la función de identidad, donde $f^n$ denota $f$ compuesto por sí mismo $n$ tiempos.
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@AlexBecker: suele considerarse una mala práctica publicar respuestas como comentarios.
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@BenMillwood Sólo cuando no hay respuestas, para que la pregunta no sea bumped automáticamente por el usuario de la comunidad. No veo el sentido de bumpear la pregunta añadiendo otra respuesta cuando ya había dos perfectamente buenas. Sólo quería dar una explicación ligeramente diferente en caso de que ayudara a que las cosas encajaran más para el OP. Los diferentes puntos de vista son buenos, en mi opinión.
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@AlexBecker: si crees que tienes algo que añadir, imo merece una respuesta. Los comentarios están pensados para pedir aclaraciones, etc. - Me parece que debería poder leer una pregunta y responder ignorando los comentarios y no perder ningún contenido matemático.
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@BenMillwood Es una preferencia perfectamente válida, pero no creo que tu opinión refleje las normas de la comunidad sobre el uso adecuado de los bienes comunes. Con casi 20.000 rep, yo soy un usuario bastante frecuente, así que creo que tengo una idea bastante buena de cómo funciona el sitio.