En el primer año del curso de cálculo en mi universidad, no introducimos la $\varepsilon$-$\delta$ definición de un límite. Cuando se considera el límite de una función de dos variables, se recurre a las rutas. Que es, para los verdaderos valores de la función $f$, definido en un eliminados abiertos barrio de ${\bf a} \in \mathbb{R}^2$, escribimos $\displaystyle\lim_{{\bf x} \to {\bf a}}f({\bf x}) = L$ si el límite a lo largo de cada camino de ${\bf a}$$L$.
Aunque no podemos entrar en este detalle, lo que se entiende por el límite a lo largo de una ruta de acceso es elegir una parametrización $\gamma : (r, s) \to \mathbb{R}^2$$\displaystyle\lim_{t \to s^-}\gamma(t) = {\bf a}$, y, a continuación, compruebe que $\displaystyle\lim_{t \to s^-}f(\gamma(t)) = L$. Por supuesto, sin la $\varepsilon$-$\delta$ definición, este one-dimensional límite sólo puede ser deducida a partir del límite de las leyes y dado los límites fundamentales.
Sin pérdida de generalidad, supongamos ${\bf a = 0}$. Cuando se le preguntó a determinar si o no el límite de $\displaystyle\lim_{{\bf x} \to {\bf 0}}f({\bf x})$ existe, solo hay un par de cosas que los estudiantes pueden hacer:
- emplear la continuidad, si es posible (límite de las leyes puede ser necesario),
- el uso de coordenadas polares junto con el teorema del encaje,
- encontrar un camino por el que el límite no existe, y
- encontrar dos caminos con tener diferentes límites.
Las dos primeras opciones pueden ser usadas para mostrar el límite existe, mientras que las dos últimas opciones pueden ser usadas para mostrar el límite no existe. Una manera eficaz de poner a prueba los límites de lo largo de las diferentes rutas de acceso es tratar a toda la familia de trayectorias simulateously, es decir, que podamos considerar a la familia cuadrática de caminos dado por $\gamma(t) = (t, kt^2)$ donde $k \in \mathbb{R}$. Si el límite de $\displaystyle\lim_{t \to 0-}f(\gamma(t))$ existe y es independiente de $k$, luego a lo largo de todos estos caminos, el límite es el mismo. Esto no prueba que $\displaystyle\lim_{{\bf x} \to {\bf 0}}f({\bf x})$ existe como todavía hay un montón de caminos que aún no se han considerado.
Preguntas:
Hay una referencia que toma este enfoque a los límites en las dimensiones superiores (es decir, mayor que uno) en una manera rigurosa, sin el uso de la $\varepsilon$-$\delta$ definición?
No me sorprendería si la respuesta es no. Sin embargo, yo soy un poco más interesado en la siguiente pregunta:
Cómo patológico puede bidimensional límites?
Es decir, cómo a lo largo de muchos caminos, puede que la función tiene el mismo límite, mientras que todavía no tienen el límite global existente? Es posible tener todos menos uno? Me imagino que sería algún tipo de densidad argumento que impida esto.
