Me pregunto si es legal publicar una pregunta que usted ya sabe la respuesta, porque la gente podría resultar interesante. En caso de que no hay dos preguntas en la parte inferior, uno de los cuales no sé la respuesta.
A través de todo ese $T$ $2\times 2$ real de la matriz.
En primer lugar, el contexto de mi trabajo hasta el momento:
Recientemente he publicado una respuesta a una pregunta acerca de $T$, donde esencialmente me resultó esto:
Si $T^3=I$ $T=I$ o $T^2+T+I=0$.
Primera versión: tenga en cuenta que $t^3-1=(t-1)(t-\alpha)(t-\overline\alpha)$ donde $\alpha=e^{2\pi i/3}$. Tenga en cuenta que el mínimo polinomio tiene grado mayor que $2$.
Trayendo en los números complejos parece hacer trampa.
Segunda versión: tenga en cuenta que $t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$. Desde $t^2+t+1$ es irreductible a la mínima que el polinomio debe ser $t-1$ o $t^2+t+1$.
Era más feliz con eso. Entonces me di cuenta de que había implícitamente utilizado el hecho de que $\mathbb R[t]$ es un UFD. No era demasiado duro para comprobar que. (¿Por qué no abrir un libro? Las únicas cosas que me siento realmente entender o recordar nunca son cosas a las que he trabajado por mi cuenta.)
Lo que me muestra esto:
Si $R$ es un PID y cada elemento de a $R$ es un producto de irreducibles, a continuación, $R$ es un UFD.
Es claro que cada polinomio es un producto o irreducibles, por lo $\mathbb R[t]$ es un UFD.
Pero este último me ha recordado algo a partir de una clase de álgebra años: por supuesto, cada PID es un UFD. Estaba atascado un poco, mostrando que en un PID de cada elemento es un producto de irreducibles. Me di cuenta de que necesitaba mostrar ACC.
Mencionado esto a un hombre en la oficina, y me dijo que en realidad
Un anillo satisface ACC si y sólo si cada ideal es finitely generado.
(Así, en particular, cada PID ha ACC, terminando la prueba de que cada PID es un UFD.)
Él dijo que él no recordar la prueba. De hecho, es más o menos obvio:
Decir $I$ es un ideal que no es finitely generado. Deje $x_1\in I$. Podemos elegir de forma recursiva $x_n\in I$$x_{n+1}\notin<x_1,\dots,x_n>$, y no es tu ascendente de la cadena de ideales.
Por el contrario, dicen que cada ideal es finitely generado, y supongamos $I_1\subset I_2\dots$ es una cadena de ideales. Deje $I=\bigcup I_n$. Si $g_1,\dots,g_n$ generar $I$ existe $N$$g_1,\dots, g_n\in I_N$. Por lo tanto $I=I_N$.
Finalmente las preguntas. Primero la diversión:
Pregunta 1. Digo que cada ideal es countably generado es equivalente a lo que ACC-ish condición?
(La respuesta va a ser inmediatamente obvio para los distintos lectores. Si eres uno de ellos, por favor, dales a los niños una oportunidad para tratar de averiguar.)
Y una pregunta que no sé la respuesta a:
Pregunta 2. Decir $T$ $2\times 2$ real de la matriz y $T^2+T+I=0$. Es decir, $T$ tiene los autovalores $\alpha$ $\overline\alpha$ donde $\alpha$ es como es arriba, así es $T$ $\mathbb C$- diagonalizable. De lo anterior se sigue que el $T$ $\mathbb R$- similar a la de una rotación por $\pm 2\pi/3$?
No me puedo imaginar qué otra cosa $T$ podría ser, pero yo no lo he probado. Si la respuesta es sí que dice mucho más acerca de lo que realmente está pasando en el lineal álgebra de MSE pregunta que comenzó todo esto.
