¿Por qué a veces llamamos a los límites del cuerpo por$\partial$?

Question

A menudo veo que el símbolo "$\partial$" se usa para definir el límite de un cuerpo en un espacio tridimensional. Por ejemplo, si el cuerpo se llama$\Omega$, los límites se etiquetan como$\partial\Omega$.

• ¿Hay alguna razón para usar este símbolo?
• ¿Qué se puede llamar oralmente?
• ¿Es apropiado llamar a los límites de$\partial\Omega$ (por ejemplo, la ruta que rodea la superficie$\partial\Omega$)$\partial^2\Omega$?

Gracias por compartir tus pensamientos.

Answer 1

Considerar el balón $B_r$ radio $r$. Este es un manifold con frontera cuyo límite es la esfera de radio $r$. Ahora considere específicamente la diferencia entre esta bola y un poco más grande la bola de $B_{r + dr}$. La diferencia es una delgada cáscara esférica que es $dr$ gruesa, y como $dr \to 0$ que se acerca, en cierto sentido, el límite de la esfera de $B_r$.

Por lo que el límite es algo así como un "derivado." Este es un poco más precisa de Stokes teorema, y también está relacionado con ideas como cobordism. Un simple ejemplo de la manera en que el límite se comporta como un derivado es que si $M, N$ son colectores con el límite, a continuación, a grandes rasgos tenemos el "producto de la regla"

$$\partial(M \times N) = \left( \partial(M) \times N \right) \cup \left( M \times \partial(N) \right).$$

Hay algo de sutileza para hacer este preciso debido a $M \times N$ es generalmente un colector con las esquinas (por ejemplo,$M = N = I$, que es quizás el caso más fácil de visualizar).