Demostrar que $f \in L^2(\mathbb{R})$ y $||f||_2 \leq 1$ .

Question

La pregunta completa dice:

Dejemos que $f$ sea una función medible de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$ con la propiedad de que $\sup_{\{g \in L^2(\mathbb{R}):||g||_2 \leq 1\}}\int_{\mathbb{R}}|fg|d \lambda \leq 1$ . Demostrar que $f \in L^2(\mathbb{R})$ y $||f||_2 \leq 1$ .

No sé muy bien por dónde empezar con este problema. Estoy tratando de conseguir más práctica con $L^p$ espacios, pero está claro que aún me falta habilidad y conocimientos. Cualquier consejo o truco se agradece mucho.

Answer 1

Por cada $n\in\mathbb{N}$ dejar $$ A_n := \{x\in [-n,n]:\ |f(x)| \leq n\}, \qquad f_n := f \chi_{A_n}, $$ y definir la función lineal $T_n\colon L^2\to\mathbb{R}$ $$ T_n(g) := \int_{\mathbb{R}} f_n g. $$ Claramente $T_n$ es un funcional acotado en $L^2$ , ya que, por la desigualdad de Holder, $$ |T_n(g)| \leq \int_{\mathbb{R}} |f_n g| \leq \|f_n\|_2 \|g\|_2. $$ Desde $$ |T_n(f_n)| = \left| \int_{\mathbb{R}} f^2\chi_{A_n}\right| = \int_{\mathbb{R}} f_n^2 = \|f_n\|_2^2 $$ podemos concluir que $\|T_n\| = \|f_n\|_2$ .

Además, $|f_n g| \nearrow |fg|$ para que $$ \sup_n |T_n(g)| \leq \int_{\mathbb{R}} |fg| < +\infty. $$ Por el Principio de Acotamiento Uniforme podemos concluir que la secuencia $(T_n)$ converge a un funcional lineal acotado $T$ y que $$ \|T\| \leq \liminf_n \|T_n\| < +\infty. $$ Por otro lado, por el teorema de convergencia monótona, $$ \liminf_n \|T_n\| = \liminf_n \|f_n\|_2 = \left(\int_{\mathbb{R}} |f|^2\right)^{1/2}, $$ por lo que $f\in L^2$ .

Por último, tomando $g = f / \|f\|_2$ en el supuesto, se obtiene $$ \int_{\mathbb{R}} |fg| = \|f\|_2 \leq 1. $$

Answer 2

Dejemos que $f_n\colon x\mapsto f(x)$ si $\left\lvert f(x)\right\rvert \leqslant n$ y $x\in[-n,n]$ y cero $f_n\colon x\mapsto 0$ si no se cumple una de las condiciones anteriores. Entonces $f_n$ es integrable al cuadrado. Fijemos $n$ y considerar $$g\colon x\mapsto \frac{f_n(x)}{\left\lVert f_n\right\rVert_2 +1/n }.$$ Entonces $\left\lVert g\right\rVert_2\leqslant 1$ y por lo tanto $$\int f(x)^2\mathbf 1_{[-n,n]}\left(f(x)\right)\mathbf 1_{[-n,n]}(x)\mathrm dx\leqslant 1 .$$ Desde $n$ es arbitraria, el teorema de convergencia monótona da el resultado deseado.