¿Qué es una integral?

Question

Estoy en un curso de Análisis Real en mi escuela ahora, y sólo he sido introducidos a las integrales otros, entonces la integral de Riemann. Algunas de las integrales de lo que puedo decir, parecen ser mucho más genérico, y tienen muy poco que ver con lo que mi anterior noción de un integrante de la era (el inverso de un derivado o el área bajo una curva).

Así que mi pregunta es lo que realmente hace algo de una integral? Debe tener la integral de Riemann como un caso especial, o son todos sueltos conceptuales relacionados con el área bajo una curva, o la inversa de la derivada, o estoy completamente ausente el punto?

Answer 1

Esta es una muy buena, sagaz pregunta. Parafraseando, y el fútbol es así, la pregunta podría ser "¿qué queremos integral a hacer?" Sí, por ejemplo, como en la pregunta, ¿qué debería extendida noción de integral de ser compatible con el? Ciertamente todas las cosas elementales, por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo, las áreas bajo las curvas, y así sucesivamente. Pero/y ¿cómo podemos razonablemente la captura de todo esto en una manera rigurosa?

De una manera, y no es el único, y no es la única cosa que nos gustaría, es una especie de continuidad en continuo (escalares, por ejemplo) funciones de soporte compacto. Una versión fácil de la integral de Riemann se muestra cómo integrar esas funciones muy bien, de forma compatible con el teorema fundamental del cálculo (y, por su diseño, con el área bajo la curva de los cálculos).

No es del todo trivial para dar el espacio de continua, compacta-se admite (escalares) de las funciones de un razonable espacio (por ejemplo, $\mathbb R$) la correcta topología... pero si lo hacemos, entonces la Riesz-Markov-teorema de Kakutani dice que cualquier funcional lineal continua en la que el espacio está dada por "una integral (en contra de un resultado positivo, regular, Borel medida". Buenas!

Y ... de forma exclusiva para...

Es cierto, sin embargo, que esta caracterización no abordar directamente las cuestiones acerca de la diferenciación en un parámetro bajo la integral, y así sucesivamente. Yo diría que tales cuestiones se abordan mejor pensar en términos de Gelfand y Pettis las ideas de la década de 1930, sobre la debilidad de las integrales". No elemental, pero realmente en el blanco.

Si usted tiene preguntas de seguimiento, por favor. He pensado acerca de tales cuestiones durante bastante tiempo ahora, ya que juegan un papel importante en buena parte de las matemáticas, aun siendo de forma dudosa, desestimó como "folclórico" o "es la definición".

Answer 2

La mayoría de las integrales buscan "encontrar el área bajo la curva". La integral de Riemann hace esto, durante un intervalo de $[a,b]$, por cortar el intervalo de $[a,b]$ consecutivos en pedazos $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$ y la aproximación de la función de abajo y de arriba, en cada una de las piezas $[x_{i-1},x_i]$. La integral de Riemann de una función es la respuesta que recibe de la aproximación por debajo y por encima (si usted no recibe la misma respuesta, decimos que la función no es Riemann integrable).

La integral de Lebesgue es una especie de generalización de la integral de Riemann en cuyo caso nos aproximado arbitrarias (mensurable) de subconjuntos de a $[a,b]$ - no necesariamente consecutivos subintervalos como los que tenemos en la integral de Riemann caso. Y si podemos encontrar una familia de subconjuntos en los que nos aproximada que el rendimiento más cerca y más cerca de la parte superior e inferior de las aproximaciones, los que nosotros llamamos el común de la aproximación de la integral de Lebesgue. Resulta que una condición necesaria y suficiente para ser capaz de encontrar subconjuntos que rendir buenos inferior y superior de aproximaciones es la cuantificación de la función en cuestión.

Un tipo diferente de la integral, si desea llamar a una integral, es un "camino integral". Estos son en realidad definida por una "normal" integral (tales como una integral de Riemann), pero la ruta de las integrales no hay que buscar para encontrar el área bajo una curva. Pienso en ellos como la búsqueda de un promedio ponderado, el total de los desplazamientos a lo largo de una curva. Por ejemplo, si la ruta de integrar la función 1 a lo largo de un círculo, se obtiene 0. Pero si la ruta de la integración de una función a lo largo de un círculo, pero que la función toma valores más altos sólo en el comienzo de la ruta, no obtendrá 0, sino algo más cercano a los altos valores de la función.