La notación para el producto cartesiano a excepción de un conjunto?

Question

Digamos que tengo una lista de conjuntos de $S_i$$i=1,\ldots,n$. Nos escriben a menudo el producto cartesiano de todos estos conjuntos, con la excepción de $S_k$ como:

$$S=S_1\times\cdots\times S_{k-1}\times S_{k+1}\times\cdots\times S_n$$

Es allí una manera más sucinta manera de escribir?

Answer 1

En Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_product), he encontrado algo que podría ser lo que usted está buscando: $\prod_{n=1}^k \Bbb{R} = \Bbb{R}\times \Bbb{R} \times\cdots\times \Bbb{R} = \Bbb{R}^k$. Así que tal vez algo como esto es también válido: $$\prod_{\scriptstyle i = 1\atop\scriptstyle i \ne k}^nS_i$$

donde $S_i$ $i^\text{th}$ conjunto de la lista que usted ha mencionado.

Answer 2

He visto una notación para este tipo de construcción en algunas de mis conferencias de matemáticas (pero no puede encontrar una referencia ahora mismo). Esto fue principalmente en el contexto de formas diferenciales (por ejemplo, del producto en el interior con el vector), pero se puede aplicar a su caso: $$ S_1\times \dotsm \times \widehat{S_k} \times\dotsm \times S_n := S_1\times \dotsm \times S_{k-1}\times S_{k+1} \times \dotsm S_n$$ El sombrero denota el factor de que se omite. Tenga en cuenta que esto no es universalmente notación estándar, por lo que incluso los profesores que utilizan se definió en algún momento a principios de la clase.

Answer 3

En general, podemos escribir

$$S_1 \times \dots \times S_n := \prod_{i=1}^n S_i$$

y luego podemos aplicar todos los convenios que estamos acostumbrados.

En cuanto a tu pregunta, esto se puede escribir como:

$$\prod_{i = 1 \atop i \neq k}^n S_i$$

Answer 4

Aunque puede que no sea común en la teoría de conjuntos, es común para el juego teóricos para escribir $S_{-i}$$S_1 \times \cdots \times S_{i-1} \times S_{i+1} \times \cdots \times S_n$. Consulte la página 15 del capítulo uno de Osborne y Rubinstein el texto sobre la teoría de juegos, por ejemplo.

Que la notación es útil en la teoría del juego porque, si $S_j$ representa el conjunto de estrategias disponibles para el jugador $j$, entonces por lo general es necesario describir cómo todos los jugadores , excepto el jugador $i$ han actuado. Dicha descripción será un miembro de $S_i$. En particular, la notación se convierte en útil en la definición de un equilibrio de Nash. Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium.