Probabilidad de sacar todos los 4 bolas

Question

Un griego urna contiene un rojo, azul, amarillo, naranja y la pelota. Una bola que se extrae de la urna al azar y luego reemplazado. Si uno hace esto $4$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que todos los $4$ colores fueron seleccionados?

Me acerqué a esta pregunta haciendo $(1/4)^4$ porque siempre hay un $1/4$ de probabilidad de que elegido un color específico de la pelota si reemplazado. También traté de hacer si no es el correcto con la pelota fue seleccionado; así que lo hice a $(3/4)^4$ pero que no funciona tampoco. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

La primera bola puede ser cualquiera de los cuatro con una probabilidad de $\frac{4}{4}$

La segunda bola debe ser cualquiera de los otros tres con una probabilidad de $\frac{3}{4}$

La tercera bola debe ser cualquiera de los otros dos con una probabilidad de $\frac{2}{4}$

El cuarto balón debe ser la pelota que no ha sido seleccionado, pero con probabilidad de $\frac{1}{4}$

Todos juntos,

$$\frac{4}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{4}=0.09375$$

Answer 2

Podemos hacer esto mediante el recuento del número de formas para dibujar cuatro bolas y el número de formas para dibujar cuatro bolas sin obtener ninguna duplicados. Hay $4!$ maneras de no obtener un duplicado de cada dibujo puede ser pensado como un orden y si no nos permiten duplicados, entonces tenemos una permutación. Hay $4^4$ diferentes dibujos como reemplazo está permitido, esto nos da $$\frac{4!}{4^4} = \frac{3}{32}$$

Answer 3

La probabilidad de sacar $4$ diferentes bolas es el producto de las probabilidades de que el dibujo de un nuevo balón en todas las $4$ sorteos.

El primer sorteo de los rendimientos de una pelota nueva, garantizada: $$P(\text{ball 1 new})=1$$

Para el segundo sorteo, hay $3$ posible bolas nuevas y $4$ total de bolas, por lo que: $$P(\text{ball 2 new})=\frac34$$

Para el tercero, hay $2$ posible bolas nuevas y $4$ total de bolas, por lo que: $$P(\text{ball 3 new})=\frac24=\frac12$$

Para el cuarto, hay una nueva bola y no se $4$ total de bolas, por lo que: $$P(\text{ball 4 new}) = \frac14$$

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Por lo tanto, la respuesta es: $$\prod P = 1\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac14 = \frac3{32}=0.09375\text{ chance.}$$

Answer 4

Las soluciones existentes para proporcionar la probabilidad correcta, pero no directamente de responder a la pregunta "¿Qué estoy haciendo mal?"

$(1/4)^4$ es la probabilidad de que una específica secuencia de sorteos, tales como:

rojo, azul, amarillo, naranja

azul, amarillo, naranja, rojo

amarillo, naranja, azul, rojo

En el caso de que "todos los 4 colores fueron seleccionados" podría ocurrir si alguna de estas secuencias se produjo. Así que debe contar el número de secuencias (4! = 24) y añadir sus probabilidades, que los rendimientos de $\displaystyle\frac{4!}{4^4}$

Answer 5

La primera bola dibujado puede ser de cualquier color. Así, la probabilidad es $\frac{4}{4}.$

Desde la primera bola se reemplaza, hay un $\frac{1}{4}$ de probabilidad de que la misma pelota va a ser dibujado. La oportunidad para una bola que se extrae es $\frac {3}{4}$.

No es $\frac{2}{4}$ de probabilidad de que las dos dibujado pelotas de duplicados, por lo que la posibilidad de una diferente bola elaborado (para el tercer sorteo) es $\frac{2}{4}$.

Por último, hay un $\frac {1}{4}$ de probabilidad de que el final de diferentes balón para ser elegidos como los otros tres ya están dibujados (si dibujados) y será duplicada.

$$\frac{4}{4} \times\frac{3}{4}\times\frac {2}{4}\times \frac {1}{4}=\frac{3}{32} =0.09375$$

Conclusión: Hay un $\frac{3}{32} $ de probabilidad de conseguir todos los cuatro colores.