¿Por qué es siempre positiva la hipotenusa en trigonometría sin importar el cuadrante?

Question

Veo una imagen como esta:

En el cuadrante 2, aunque el coseno es negativo, debido a que la coordenada x va hacia la izquierda, la hipotenusa sigue siendo positiva. ¿Por qué sucede esto? Parece que la dirección de x importa al determinar si el coseno es positivo o negativo, ¿por qué esto no se aplica también a la hipotenusa? ¿Por qué la hipotenusa siempre es positiva?

¿Por qué algunas personas hablan de trigonometría utilizando triángulos en vez de círculos unitarios? ¿Es uno más correcto que el otro?

Answer 1

La hipotenusa es un número que representa una distancia, es decir, la norma de un vector. Las distancias siempre son positivas.

Dicho esto, las figuras son un poco engañosas, porque los números verdes tienen dos significados diferentes: para las patas del triángulo, representan la coordenada x o y, mientras que para el lado más largo, representan su longitud real, también conocida como la hipotenusa. Todos los números verdes deben ser positivos si quieres interpretarlos como distancias. Creo que las figuras simplemente no son matemáticamente precisas.

Answer 2

En muchos otros libros de texto, las funciones trigonométricas de ángulos fuera del rango de $0$ a $90$ grados se definirían con la ayuda de un círculo unitario, el círculo de radio $1$ centrado en el origen. Comenzando en el punto $(1,0)$ en la circunferencia de ese círculo, viajamos una cierta distancia en sentido antihorario alrededor del círculo hasta que llegamos a un punto. El camino hacia ese punto determina un ángulo (donde $360$ grados equivalen a un viaje completo alrededor del círculo), y las coordenadas $x$ y $y$ de ese punto son el coseno y seno de ese ángulo. La tangente de ese ángulo es la pendiente de la recta que pasa por ese punto y por el origen.

Por alguna razón, este libro tomó un enfoque diferente; aunque las palabras "círculo unitario" aparecen en el margen derecho del fragmento que mostraste, no se muestra un círculo unitario. En su lugar, tenemos triángulos que son demasiado grandes para relacionar fácilmente con el círculo unitario; hay un círculo en el que siempre se encuentra el otro extremo de la hipotenusa, pero tiene un radio de $2.$

A pesar de esta forma diferente de intentar explicar las funciones trigonométricas de ángulos grandes, el libro calcula esas funciones de una manera que es consistente con la definición del círculo unitario. El coseno siempre es positivo cuando la dirección del ángulo dado apunta hacia la derecha del eje $y$; la tangente es positiva cuando el ángulo apunta hacia los cuadrantes I o III, ya que entonces la recta en esa dirección tiene pendiente positiva; y así sucesivamente.

Answer 3

El diagrama es un poco engañoso. Utiliza flechas de doble punta en todas partes, pero algunas de esas flechas están etiquetadas con un número negativo, y otras no lo están.

Cuando se calculan $\sin$ y $\cos$ y las funciones inversas, importa el signo de las coordenadas $x$ y $y, por eso esas partes están etiquetadas como $-2, $-1$, etc.

Las longitudes de estos segmentos, por supuesto, son positivas. Lo que se está etiquetando, sin embargo, es el desplazamiento desde el origen, que es negativo si está a la izquierda en el eje $x$, o hacia abajo en el eje $y$.

No hay necesidad real de hablar sobre hacia dónde apunta la hipotenusa, ya que ya sabemos hacia dónde apunta a partir de los desplazamientos $x$ e $y$. Por lo tanto, está etiquetado con un valor positivo.

Sin embargo, veo tu confusión. Una flecha de una sola punta apuntando lejos del origen habría reducido esta confusión.

Answer 4

Algunos de estos pueden parecer convenciones, pero aquí están las razones que creo que podrían explicar por qué la hipotenusa siempre es positiva.

1. Es una distancia, y las distancias se representan por números reales no negativos.
2. $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y la función de raíz cuadrada siempre devuelve un número real no negativo.
3. al movernos a lo largo de un círculo dado, el valor de $x$ y el valor de $y$ se mueven de positivo a negativo y viceversa, pero cada uno desaparece a medida que pasa de positivo a negativo y viceversa. La hipotenusa del triángulo nunca desaparece; por lo tanto, para que sea continua, su signo debe permanecer positivo.

La gente habla en términos de círculos unitarios porque es más simple y la situación es general salvo por una escala (a través de triángulos similares).

Usar un círculo unitario nos permite decir que $x=\cos(\theta)$ y $y=\sin(\theta)$.

Answer 5

Aprendí trigonometría en cuarto grado de secundaria (se consideraba un tema avanzado, qué ironía) y, desafortunadamente, mi libro de texto usaba las mismas convenciones (sin las flechas elegantes para marcar las longitudes): los segmentos paralelos a los ejes se consideraban positivos o negativos según su "orientación". Como era de esperar, varios de mis compañeros de clase entendían muy poco sobre esa definición.

Afortunadamente para ellos, pronto se desechó la definición y solo tenías que recordar la palabrería

• primer cuadrante: seno positivo, coseno positivo, tangente positiva;
• segundo cuadrante: seno positivo, coseno negativo, tangente negativa;
• tercer cuadrante: seno negativo, coseno negativo, tangente positiva;
• cuarto cuadrante: seno negativo, coseno positivo, tangente negativa.

Solo más tarde, al discutir las desigualdades trigonométricas, se introdujo el círculo unitario, pero solo como un "dispositivo gráfico".

No sé si tu libro te dice cómo se construyen y deben ser pensados esos triángulos. Consideras el rayo que forma el ángulo dado con el eje positivo de $ x $, eliges una distancia distinta de cero (lo que desees), encuentras el punto $ P $ en el rayo que tenga esa distancia desde el origen y dibujas la perpendicular al eje $ x $: en otras palabras, solo consideras las coordenadas de $ P $.

La distancia desde el origen es solo un factor de escala que se vuelve irrelevante porque siempre consideras una razón de dos lados. Simplemente quitas los posibles signos negativos, calculas la relación y luego vuelves a insertar un signo menos si quitaste solo uno. Pero, y aquí entra tu duda, la hipotenusa no lleva un signo porque generalmente no es paralela a ninguno de los ejes. ¡Oh, vaya! ¿Qué pasa con el ángulo recto? ¡Sí, hay una contradicción! ¿Cómo la resuelven? Los ángulos de $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ y $360^\circ$ son especiales porque el triángulo es degenerado, por lo que la definición debe hacer casos particulares para ellos.

No es la mejor forma de definir las funciones trigonométricas. Usar $1$ como la distancia arbitraria y definir coseno y seno como las coordenadas de la intersección entre el rayo y el círculo unitario es mucho más fácil y evita todas las dudas sobre cuáles segmentos llevan un signo y cuáles no. Luego se puede definir la tangente como la razón entre seno y coseno. Sin casos especiales (excepto, por supuesto, para la tangente de $90^\circ$ y $270^\circ$, que no existe).

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Tal vez algo de historia aproximada pueda ayudar. Seno y coseno fueron definidos por primera vez utilizando ángulos rectos, lo que los limitaba a ser agudos. Sin embargo, pronto se descubrieron las leyes del seno y coseno y abrieron el camino para definir seno y coseno también para ángulos obtusos. El seno de un ángulo obtuso debe ser positivo para que la ley del seno siga siendo la misma para triángulos obtusos; al contrario, el coseno de un ángulo obtuso debe ser negativo para que la ley del coseno siga vigente. En ese tiempo, los números negativos simplemente se consideraban "trucos computacionales", sin tener un significado propio.

Sin embargo, al describir el movimiento circular en física, se hizo evidente que los ángulos debían considerarse de cualquier valor, positivo o negativo. Y entonces el círculo unitario se convirtió en una herramienta importante. En realidad, no importa qué radio uses, siempre que las coordenadas se dividan por la longitud del radio (que es positiva por definición): solo considera triángulos similares. El radio uno evita calcular la razón.

Cabe destacar que en la antigüedad, seno y coseno no se definieron a través de una razón lado/hipotenusa, sino como la longitud de la pierna adecuada con una hipotenusa bastante grande, digamos de $10\,000$ unidades, por lo que los números decimales no eran necesarios. Sin embargo, esta longitud tenía la mala costumbre de salir en fórmulas como las de suma. Finalmente, los matemáticos se dieron cuenta de que normalizar la hipotenusa a $1$ simplificaría el trabajo con el pequeño inconveniente de tener que usar números decimales.

No digo que el desarrollo histórico fuera precisamente así: las matemáticas no evolucionan de manera lineal. Se tardó mucho en llegar a definiciones fáciles como la del círculo unitario. Pero los escritores de libros de texto a menudo piensan de manera diferente.

El enfoque de "segmentos orientados" es una mezcla del método clásico con triángulos esbozados arriba y la geometría analítica para lidiar con ángulos mayores que el ángulo recto. Aparentemente, definir coseno y seno simplemente como coordenadas de un punto es considerado "difícil" por el autor de ese libro de texto.

Simplemente olvídalo: la hipotenusa es simplemente un factor de escala y, como tal, no lleva un signo.