Me preguntaba si Brook Taylor también estaba familiarizado con el análisis en muchas variables en ese momento. No he encontrado información al respecto en internet. Saludos Eu2718
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Evan Anderson
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Después de buscar en Google, creo que el primero que escribió la expansión tipo Taylor para funciones de dos variables es seguro Joseph-Louis Lagrange . También mi corazonada fue él por sus contribuciones en multiplicadores de Lagrange y cálculo de variaciones.
En su libro Teoría de la función analítica página 92 consideró la función $f(x+i,y+o)$ y lo amplió fijando $i$ y $o$ respectivamente. Luego, en la página 93, llegó a la siguiente ampliación:
$$ f(x+i,y+o) = f(x,y)+if'(x,y)+of_{\prime}(x,y) \\ + \frac{i^2}{2}f''(x,y) + io f'_{\prime}(x,y)+ \frac{o^2}{2}f_{\prime\prime}(x,y) + \frac{i^3}{2\cdot 3} f'''(x,y) \\ + \frac{i^2o}{2} f''_{\prime}(x,y) + \frac{io^2}{2} f'_{\prime\prime}(x,y) + \frac{o^3}{2\cdot 3} f_{\prime\prime\prime}(x,y) + \& c. $$
Traducido a la notación matemática moderna, es simplemente $$ f(x+\delta x, y+\delta y) = f(x,y) + f_x(x,y) \delta x + f_y(x,y)\delta y \\ + \frac{1}{2!}f_{xx}(x,y) (\delta x) ^2 +f_{xy}(x,y) \delta x\delta y + \frac{1}{2!}f_{yy}(x,y) (\delta y) ^2 + \frac{1}{3!} f_{xxx}(x,y) (\delta x) ^3 \\ + \frac{1}{2} f_{xxy}(x,y) (\delta x) ^2 \delta y+ \frac{1}{2} f_{xyy}(x,y) \delta x (\delta y)^2 + \frac{1}{3!} f_{yyy}(x,y) (\delta y)^3 + \text{Error term}.$$
Mi francés es casi de aficionado, pero parece que Lagrange no mencionó el orden de las derivadas parciales en su notación.
Mi investigación comenzó con la cita de la entrada Teorema de Taylor de wikipedia :
El teorema de Taylor recibe su nombre del matemático Brook Taylor, que enunció una versión del mismo en 1712. Sin embargo, una expresión explícita del error fue proporcionada mucho más tarde por Joseph-Louis Lagrange.
