$\int {e^{3x} - e^x \over e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$

Question

$$I = \int {e^{3x} - e^x \over e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$$

Sustituyendo $e^x$,

$$I = \int {u^2 - 1 \over u^4 + u^2 + 1} du = \int { u^4 + u^2 + 1 + - 2 - u^4 \over u^4 + u^2 + 1} du = u - \int {u^4 + 2 \over u^4 + u^2 + 1} du $$

Ahora no sé nada, que puedo hacer para durar integral a excepción parcial de la fracción de descomposición, pero estoy bastante seguro de que $u^4 + u^2 + 1$ no tiene ningún tipo de factores en los números reales.

Es esta integral computable en los números reales ? ¿Cómo puedo calcular ?

Answer 1

Observar que $$u^4 + u^2 + 1 = (u^4 + 2u^2 + 1) - u^2 = (u^2 + 1)^2 - u^2 = (u^2 + u + 1)(u^2 - u + 1).$$ From this, we try a partial fraction decomposition of the form $$\frac{Au + B}{u^2 - u + 1} + \frac{Cu + D}{u^2 + u + 1} = \frac{u^2 - 1}{u^4 + u^2 + 1},$$ and after multiplying out and comparing like coefficients of $u$, we have $$\begin{align*} A + C &= 0 \\ A+B-C+D &= 1 \\ A+B+C-D &= 0 \\ B+D &= -1. \end{align*}$$ From here, we get $$B = D = -1/2,$$ and $$A = 1, C = -1.$$ Consequently, the integrand becomes $$\frac{1}{2}\left( \frac{2u-1}{u^2-u+1} - \frac{2u+1}{u^2+u+1}\right),$$ y el resto es sencillo. Como un bono, puede incluso encontrar que el numerador de cada término es el derivado de los respectivos denominador. Usted no puede conseguir mucho mejor que eso.

Answer 2

Que en realidad no necesitan tedioso Parcial Fracción de Descomposición como

$$\dfrac{u^2-1}{u^4+Au^2+1}=\dfrac{1-\dfrac1{u^2}}{u^2+A+\dfrac1{u^2}}$$ where $Una$ es una constante arbitraria.

Ahora como $\displaystyle\int\left(1-\dfrac1{u^2}\right)du=u+\dfrac1u,$

escribir $\displaystyle u^2+A+\dfrac1{u^2}=\left(u+\dfrac1u\right)^2+A-2$ y establezca $u+\dfrac1u=v$