Ejemplo (para algunos $X$) de un nonclosed ideal en $\mathbb{C}(X)$?

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y $\mathbb{C}(X)$ el álgebra de funciones continuas $f: X \to \mathbb{C}$, con pointwise operaciones. Equipamos $\mathbb{C}(X)$ con la norma máxima $N(f) := \max_{x \in X}|f(x)|$. Ideal $I \subset \mathbb{C}(X)$ se llama cerrado ideal si $I$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}(X)$ visto como un espacio métrico. Para cualquier subconjunto $Y \subset X$, la $I_Y := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(y) = 0 \text{ for all }y \in Y\}$ es un cerrado ideal en $\mathbb{C}(X)$.

Mi pregunta es, ¿qué es un ejemplo (para algunos $X$) de un nonclosed ideal en $\mathbb{C}(X)$?

Answer 1

Deje $E\subseteq X$. Nos pusimos $J_E:=\{f\in C(X):\text{$f$ vanishes on a neighbourhood of $E$}\}$. Es fácil ver que $J_E$ es un ideal en el $C(X)$. Tome $E=\{x\}$ algunos $x\in X$. Luego de cada función en $I_{\{x\}}$ se puede aproximar uniformemente por funciones en $J_{\{x\}}$, pero no todas las funciones tales que $f(x)=0$ es igual a cero, en un barrio de $x$. Por lo tanto $J_{\{x\}}$ no está cerrado. (El hecho de que $J_{\{x\}}$ es denso en $I_{\{x\}}$ es una propiedad que se llama fuerte la regularidad.)