Diferencias entre la mecánica clásica, analítica, racional y teórica

Question

¿Puedes explicarme cuáles son las diferencias entre los cuatro siguientes temas?

• mecánica analítica
• mecánica racional
• mecánica clásica
• mecánica teórica

Answer 1

Mi entendimiento del uso de estos términos obviamente no es perfecto, pero aún puedo intentarlo. Tengo que admitir de antemano que nunca he encontrado el término 'mecánica racional', tal vez alguien más conocedor pueda ampliar sobre esto.

Mecánica Teórica

Este es un término utilizado para diferenciar entre la mecánica experimental (rebotando pequeñas pelotas entre sí) y la mecánica teórica (intentando derivar ecuaciones sobre cómo las pequeñas pelotas rebotan entre sí). Como tal, abarca la mecánica clásica, la mecánica analítica y la mecánica racional.

Mecánica Clásica

Mecánica Clásica se utiliza en dos contextos diferentes: primero, es el antónimo de Mecánica Cuántica. Como tal, generalmente asumimos un mundo estrictamente determinista gobernado por ciertas ecuaciones diferenciales (en una de las muchas formulaciones de la mecánica clásica, ver abajo), en oposición a una visión mecánica cuántica donde las densidades de probabilidad evolucionan según la ecuación de Schrödinger/Heisenberg ($i \hbar \partial_t \Psi = H \Psi$ o $\dot A = \frac{i}{\hbar}[ H , A ] + \partial_t A$).

Por otro lado, el término ‘mecánica clásica‘ a veces se usa para describir la Mecánica Newtoniana en oposición a los desarrollos posteriores de Euler, Lagrange, Hamilton y Jacobi. La mecánica newtoniana se basa en la ecuación $F = \dot p = m a$ (asumiendo $\dot m = 0$) para describir el movimiento de una partícula puntual de masa m. Dado que $a = \ddot x$, generalmente se requieren dos integraciones para resolver la trayectoria de la partícula.

Mecánica Analítica

Mecánica Analítica forma la ‘otra’ rama de la mecánica clásica y se basa en la mecánica newtoniana. Se puede dividir en tres pasos principales: Mecánica Lagrangiana, Mecánica Hamiltoniana y mecánica basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Mecánica Lagrangiana

La Mecánica Lagrangiana comienza con la definición del Lagrangiano $\mathcal{L}$ que actúa como una medida de la diferencia entre la energía cinética y potencial. Es una función de las coordenadas y velocidades de todas las partículas:

$$\mathcal{L}(q_1,q_2,\ldots,q_N,\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_N,t) = T - U$$

Lagrange postuló entonces que las trayectorias reales de las partículas entre el tiempo $t_1$ y el tiempo $t_2$ son aquellas que minimizan la acción $S$ definida por

$$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L} dt$$

lo que conduce a un problema de variación: Encontrar $\{q_i,\dot q_i\}$ tal que

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \delta \mathcal{L} dt = 0$$

donde $\delta X$ describe la variación de $X$ por sus argumentos (coordenadas y velocidades, en nuestro caso). Resulta que hay una ecuación que describe cuándo una cantidad dada cumple este requisito, a saber, las ecuaciones de Euler-Lagrange. Estas son:

$$\partial_{q_i} \mathcal{L} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \partial_{\dot q_i} \mathcal{L} = 0$$

donde $\partial_x = \frac{\partial}{\partial x}$ y omití los argumentos de $\mathcal{L}$. Observa que estas ecuaciones son de primer orden en $\{q_i,\dot q_i\}$, a diferencia de $F = \ddot p$ de Newton. Además, nota que utilicé $q_i$ para denotar la(s) coordenada(s) de la $i$-ésima partícula en lugar de $x_i$: Esto se debe a que la mecánica lagrangiana facilita mucho la implementación de coordenadas generalizadas. Esto se muestra mejor con un ejemplo:

Supongamos (en dos dimensiones) que tienes un perno de longitud $l$ fijo en el origen $(0,0)$ y una masa $m$ en el otro extremo de la cuerda. Además, supongamos que el perno siempre tiene la misma longitud. Entonces, para describir el movimiento de la masa utilizando las coordenadas estándar, necesitamos introducir $y$ y $x$ e integrar cada uno de ellos y hacer todo tipo de cosas feas y, lo más importante, siempre tener en cuenta que $y^2 + x^2 = l^2$. Sin embargo, nos damos cuenta de que solo hay un grado de libertad: el ángulo. Al introducir una coordenada generalizada $q$, podemos implementar el requisito $y^2 + x^2 = l^2 simplemente no admitiendo otras coordenadas. Establecemos

$$x = l \cos(q) \quad y = l \sin(q)$$

y podemos estar seguros de que el perno siempre tiene la misma longitud. Suponiendo un potencial gravitatorio constante (es decir, energía potencial $m \cdot g \cdot x$), podemos escribir

$$\mathcal{L}(q,\dot q,t) = \frac{1}{2m} l \dot q^2 - m \cdot g \cdot l \cos(q)$$

y por lo tanto

$$m \cdot g \cdot l \sin(q) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{1}{m} l \dot q = 0 .$$

Puedes notar que todavía hay un $\ddot q$ escondido ahí. Ahí es donde entra la Mecánica Hamiltoniana.

Mecánica Hamiltoniana

Hamilton notó que la mecánica lagrangiana todavía es básicamente la mecánica newtoniana con un vestido más bonito, pero aplicando una transformada de Legendre a $\mathcal{L}$, en realidad podemos deshacernos de $\dot q$ (y por lo tanto de $\ddot q$).

Para ello, introducimos el ‘momento conjugado canónico’ $p_j = \partial_{\dot q_j} \mathcal{L}$ y el Hamiltoniano $\mathcal{H}$ que es una función de $q$, $p$ (y, raramente, $t$), definida por:

$$\mathcal{H}(q_1,q_2,\ldots,q_N,p_1,p_2,\ldots,p_N,t) = \sum_i \dot q_i p_i - \mathcal{L} \quad = T + U.$$

Puede que desees verificar que $\mathcal{H}$ no depende de $\dot q_i$, sino solo de las coordenadas canónicamente conjugadas y sus momentos $\{ q_i , p_i \}$. Luego podemos reescribir las ecuaciones de Euler-Lagrange de la siguiente manera:

$$\dot q_i = \partial_{p_i} \mathcal{H} \quad ; \quad \dot p_i = - \partial_{q_i} \mathcal{H} \quad .$$

Puedes recordar estos estableciendo $H(q,p,t) = T(p) + U(q)$, el segundo término entonces se convierte en ‘algo así como’ $\nabla U = -F = - \dot p_i$.

Estas ecuaciones siguen siendo asimétricas (de ahí la regla anterior), pero al introducir los corchetes de Poisson:

$$\{ A , B \} = \sum_i [ \partial_{q_i} A \partial_{p_i} B - \partial_{p_i} A \partial_{q_i} B ]$$

podemos arreglar eso. Observa:

$$\dot q_i = \{ q_i , H \} \quad ; \quad \dot p_i = \{ p_i , H \}$$

dado que $\partial_{q_i} p_j = 0 \quad \forall i,j$.

Además, ahora podemos pasar a la mecánica cuántica con relativa facilidad: Simplemente agrega un ‘sombrero’ a $\mathcal{H}$ y reemplaza $\{ \cdot , \cdot \}$ por $-\frac{i}{\hbar} [ \cdot , \cdot ]$, donde $[ A , B ] = AB - BA$ denota el conmutador :)

Si te sientes particularmente malvado, busca la ecuación de Hamilton-Jacobi, no es bonita (o la cosa más hermosa que se haya visto, dependiendo de tu punto de vista).

Answer 2

La mecánica analítica es una rama de la mecánica clásica que no es mecánica vectorial (trabajo original de Newton). La mecánica analítica utiliza dos propiedades escalares del movimiento, las energías cinética y potencial, en lugar de fuerzas vectoriales, para analizar el movimiento. La mecánica analítica incluye la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana, la mecánica de Routh...

La mecánica teórica es una rama de la mecánica que emplea modelos matemáticos y abstracciones de la física para racionalizar, explicar y predecir fenómenos mecánicos. Esto contrasta con la mecánica experimental, la cual emplea herramientas experimentales para investigar estos fenómenos.

La mecánica racional es una rama de la mecánica teórica caracterizada por un enfoque puramente axiomático, donde se seleccionan unos pocos axiomas y luego el resto de la teoría se deriva lógicamente como teoremas y corolarios. Esta rama suele estar más orientada hacia las matemáticas que las otras.

La mecánica clásica es esa rama de la mecánica que ignora los efectos cuánticos. La mecánica clásica puede ser relativista o no relativista, aunque en la literatura más antigua, la mecánica clásica a menudo significa mecánica clásica pre-relativista.