Utilizando el hecho de que $\bigl(\sqrt x\bigr)^{(j)}=\frac{(-1)^{j-1}}{2^j}\,(2j-3)!!x^{-(2j-1)/2}$ para todos $j\geq1$ (aquí $!!$ denota el doble factorial en particular $(-1)!!=1$ ), junto con La fórmula de Faà di Bruno obtenemos, para todo $n\geq1$ una fórmula para el $n$ -derivada de la función $g(x)=\exp(\sqrt x)$ . En la fórmula siguiente, la tupla $\mathbf m=(m_1,\dots,m_n)$ abarca las tuplas de $\mathbb N^n$ tal que $\sum_{j=1} ^njm_j=n$ ( particiones del número $n$ ), y $|\mathbf m|=\sum_{j=1}^nm_j$ :
$$\begin{align*} g^{(n)}(x)=&\,g(x)\sum_{\mathbf m}\binom n{m_1,\dots,m_n}\prod_{j=1}^n\Biggl[\frac{(-1)^{j-1}(2j-3)!!x^{-(2j-1)/2}}{2^jj!}\Biggr]^{m_j}\\ =&\,g(x)\sum_{\mathbf m}a_{\mathbf m}\,\frac{x^{|\mathbf m|/2}} {x^n}\,. \end{align*}$$
Dado que el valor de $|\mathbf m|$ varía entre $1$ y $n$ como $\mathbf m$ varía en todas las particiones de $n$ se deduce que para $x>0$ podemos escribir
$$g^{(n)}(x^2)=\frac{P(x)e^x}{x^{2n-1}}\,,$$
donde $P(T)=P_n(T)$ es un polinomio en $T$ de grado $n-1$ . Por otro lado, el $n$ -derivada de la función $h(x)=\exp(-\sqrt x)$ es muy similar, debido al factor $-1$ que multiplica la raíz cuadrada interior:
$$h^{(n)}(x)=h(x)\sum_{\mathbf m}(-1)^{|\mathbf m|}\,a_{\mathbf m}\frac{x^{|\mathbf m|/2}}{x^n}\,,$$
lo que implica, para $x>0$ :
$$\begin{align*} h^{(n)}(x^2)=&\,e^{-x}\sum_{\mathbf m}a_{\mathbf m}\frac{(-x)^{|\mathbf m|}}{(-x)^{2n}}\\ =&\,-\frac{P(-x)e^{-x}}{x^{2n-1}}\,. \end{align*}$$
Dado que estamos interesados en el límite $\lim_{x\to0^+}\bigl[g^{(n)}(x)+h^{(n)}(x)\bigr]$ podemos cambiar $x$ por $x^2$ (con $x>0$ ), por lo que el límite deseado es igual a
$$L=\lim_{x\to0^+}\frac{Q(x)-Q(-x)}{x^{2n-1}}=\lim_{x\to0^+}\frac{H(x)}{x^{2n-1}}\,,$$
donde $Q(x)=P(x)e^x$ y $H(x)=Q(x)-Q(-x)$ . Desde $H(0)=0$ y por el término $x^{2n-1}$ nos lleva a utilizar la regla de L'Hôpital, con la esperanza de que $2n-1$ veces (bueno, no ojalá pero ciertamente porque ya conocemos el resultado). Tenemos
$$H^{(r)}(0)=\bigl[Q^{(r)}(x)-(-1)^rQ^{(r)}(-x)\bigr]\Bigl|_{x=0}=\begin{cases} 0,&\ \style{font-family:inherit;}{\text{if}}\ r\ \style{font-family:inherit;}{\text{is even}};\\ 2Q^{(r)}(0),&\,\ \style{font-family:inherit;}{\text{if}}\ r\ \style{font-family:inherit;}{\text{is odd}}. \end{cases} $$
Por último, si $P(T)=\sum_{k=0}^{n-1}b_kT^k$ , entonces por regla general de Leibniz tenemos
$$\begin{align*} Q^{(r)}(0)=&\,\biggr[\sum_{k=0}^r\binom rkP^{(k)}(x)\ \frac{d^{r-k}\ e^x}{dx^{r-k}}\biggr]\Biggl|_{x=0}=\sum_{k=0}^r\binom rkP^{(k)}(0)\\ =&\,\sum_{k=0}^r\binom rk\,k!b_k\,.\tag{$\boldsymbol\ast$} \end{align*} $$
En este punto es necesario determinar los coeficientes del polinomio $P(T)$ . Recordemos que en realidad $P(T)$ es un polinomio que depende de $n$ y que para todos $n\geq1$ tenemos
$$g^{(n)}(x^2)=\frac{P_n(x)e^x}{x^{2n-1}}\,.$$
Definición de $R_n(T)=2^nP_n(T)$ y utilizando la igualdad $2xg^{(n)}(x^2)=\bigl[g^{(n-1)}(x^2)\bigr]^\prime$ para $n\geq2$ obtenemos (ejercitamos) la recurrencia
$$R_n(T)=(T-2n+3)R_{n-1}(T)+TR_{n-1}^\prime(T),\ \text{for all}\ n\geq2\,,$$
y el valor inicial $R_1(T)=1$ . Escribir $R_n(T)=\sum_{k=0}^{n-1}r_{n,k}T^k$ la recurrencia se convierte en (verificar)
$$\begin{align*} r_{n,n-1}=r_{n-1,n-2},&\quad\style{font-family:inherit;}{\text{for}}\ n\geq2;\\ r_{n,k}=(3-2n+k)r_{n-1,k}+r_{n-1,k-1},&\quad\style{font-family:inherit;}{\text{for}}\ n\geq2\ \style{font-family:inherit;}{\text{and}}\ k=1,\dots,n-2;\\ r_{n,0}=(3-2n)r_{n-1,0},&\quad\style{font-family:inherit;}{\text{for}}\ n\geq2\,. \end{align*} $$
De ello se desprende que $r_{n,n-1}=1$ para todos $n\geq1$ y $r_{n,0}=(-1)^{n-1}(2n-3)!!$ para todos $n\geq1$ . Además, para todos los $m\geq1$ y todos $t\geq2$ obtenemos
$$r_{m+t,m}=r_{t,0}+\sum_{k=1}^m(r_{k+t,k}-r_{(k-1)+t,k-1})=(-1)^{t-1}(2t-3)!!+\sum_{k=1}^m(3-2t-k)r_{k+(t-1),k}\,.$$
Con esto somos capaces de determinar iterativamente los valores $r_{m+t,m}$ , comenzando por $t=2$ . Utilicé Mathematica para hacerlo, y después de algunas pruebas descubrí la siguiente fórmula:
$$r_{m+t,m}=\frac{(-1)^{t-1}}{(2t-2)!!}\,(m+1)\cdots(m+2t-2)=\frac{(-1)^{t-1}(m+2t-2)!}{2^{t-1}(t-1)!m!}\,,$$
que se puede reescribir como
$$\begin{align*} r_{n,k}=&\,\frac{(-1)^{n-k-1}(2n-k-2)!}{2^{n-k-1}(n-k-1)!k!}\\ =&\,(n-1)!\frac{(-1)^{n-k-1}}{2^{n-k-1}k!}\binom{2n-2-k}{n-1}\,,\ \style{font-family:inherit;}{\text{for}}\ n\geq2\ \style{font-family:inherit;}{\text{and}}\ k=1,\dots,n-2\,. \end{align*}$$
En realidad, la fórmula anterior sigue siendo válida en los demás casos. Por lo tanto, tenemos
$$P_n(T)=(n-1)!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{n-k-1}}{2^{2n-k-1}k!}\binom{2n-2-k}{n-1}\,T^k\,,$$
y nos gustaría mostrar directamente (ver $(\boldsymbol\ast)$ ) que para todo $r$ impar tenemos
$$\sum_{k=0}^r\binom rk\,\frac{(-1)^{n-k-1}}{2^{2n-k-1}}\binom{2n-2-k}{n-1}=\,\begin{cases} 0,&\ \text{if}\ r<2n-1;\\ 1/2,&\ \text{if}\ r=2n-1. \end{cases}\tag{$\boldsymbol { \ast\ast } $}$$
No tengo ni idea de cómo demostrar la igualdad $(\boldsymbol{\ast\ast})$ arriba.
RESUMEN Y MORALEJA
Su fórmula deseada y explícita (es decir, sin utilizar series de potencias) para $f^{(n)}(x)$ es la siguiente:
$$\begin{align*} f^{(n)}(x)=&\,g^{(n)}(x)+h^{(n)}(x)\\ =&\,\frac{(n-1)!}{x^{n-\frac12}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{n-k-1}}{2^{2n-k-1}k!}\binom{2n-2-k}{n-1}\,x^{k/2}\bigl[e^{\sqrt x}-(-1)^ke^{-\sqrt x}\,\bigr]\,. \end{align*}$$
¡¡¡¡¡La moraleja de la historia es: es mucho mejor usar series de energía!!!!!
