¿Qué es $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}$% siempre $x_n=2y_{n}-y_{n-1}$y $y_n=3y_{n-2}-y_{n-2}$ $x_0=y_0=1$?

Question

Supongamos que $x_n$ y $y_n$ satisfacer: $$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 1&1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \\ \end{pmatrix} $$ $x_0=y_0=1$. ¿Qué es $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}$ suponiendo que este límite existen?

Después de hacer algunos álgebra, tengo $x_n=2y_{n}-y_{n-1}$ y $y_n=3y_{n-2}-y_{n-2}$, pero no puede ir más lejos.

Answer 1

Sugerencia: Deje $z_{n}\equiv(x_{n},y_{n})^{\intercal}$. Entonces, podemos reescribir la recurrencia como $$ z_{n}=Mz_{n-1}\text{ (}n\geq1\text{)} $$ donde $$ M\equiv\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}. $$ Tenga en cuenta que $M$ es diagonalizable. Es decir, podemos escribir $M=SJS^{-1}$ donde $$ S\equiv\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right) & \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\text{ y }J\equiv\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right)\\ & \frac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right) \end{pmatrix} $$ Por inducción, tenemos $z_{n}=M^{n}z_{0}$. Tenga en cuenta que $$ M^{n}=\left(SJ^{-1}\right)^{n}=SJ^{n}S^{-1}. $$ Puede usted imaginar el resto?

Answer 2

$$\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{y_{n}+y_{n-1}}{y_{n-2}+2y_{n-1}}$$ Observe that $$y_n=2y_{n-1}+y_{n-2},\,,\,\,\,\,\,\,y_0=1, y_{1}=2$$ is a linear recurrence relation with constant coefficients. Therefore you can solve it for $y_n$ in general. Then substitute it in to find the ratio $\dfrac{x_n}{y_n}.$ Then take the limit $n\to\infty.$ La buena suerte.