La redistribución interna de los créditos de TACIS permite asimismo dotar con 30 millones de ecus una nueva línea destinada a las medidas de cooperación transfronteriza.

Question

Yo no puedo ver una buena aproximación a la tercera parte de el siguiente problema:

Deje $f: M \to M$ ser suave, un mapa de un pacto orientado a colector en sí mismo. Denotar por $H^q(f)$ la inducida por el mapa en la cohomology $H^q(M)$. El Lefschetz número de f está definida para ser

$$L(f) = \sum_q (-1)^q \text{trace } H^q(f)$$

Deje $\Gamma$ ser la gráfica de $f$ $M\times M$

1. Mostrar que $\int_\Delta \eta_\Gamma = L(f)$
2. Mostrar que si $f$ no tiene puntos fijos, a continuación, $L(f)$ es cero.
3. En un punto fijo $P$ $f$ el derivado $Df_p$ es un endomorfismo de el espacio de la tangente $T_pM$. Definimos la multiplicidad del punto fijo $P$

$$ \sigma_P = \text{sign} \, \det(Df_p - I)$$

Demostrar que si la gráfica de $\Gamma$ es transversal a la diagonal $\Delta$$M \times M$, luego

$$L(f) = \sum_P \sigma_P$$

donde $P$ rangos de los puntos fijos de $f$. Aquí $\eta_S$ denota la Poincaré doble de la submanifold $S$.

Me gustaría, si alguien me pudiera ayudar. Mejor sería sólo una sugerencia y no una solución completa.

Ideas:

Supongo que uno podría utilizar alguna de que una forma de representación de la Poincaré dual de un submanifold $S$ puede ser elegido para tener apoyo en una arbitrariamente pequeño barrio de $S$ a convertir el problema en un problema local de computación integrales en los barrios de los puntos fijos de $f$, señalando que

$$\int_\Delta \eta_\Gamma = \int_{M\times M} \eta_\Gamma\wedge \eta_\Delta$$

y $\eta_\Gamma\wedge \eta_\Delta$, entonces sería distinto de cero sólo en un arbitrariamente pequeño barrio de las intersecciones de $\Delta$$\Gamma$, es decir, el conjunto de puntos fijos de $f$, de modo que uno podría trabajar en coordenadas locales allí. Sin embargo, lo que me iba a encontrar particularmente extraño es cómo, si podríamos calcular locales integrales como se sugirió anteriormente, el que iba a ser tan bien integervalued? Pero no tengo mucho tratando de empujar a esta idea...

Yo también, en realidad, no saben realmente lo $\eta_\Gamma$ parece. He tratado de averiguar algunos de expresión, pero sin suerte.

Como siempre, muchas gracias por tu siempre útiles sugerencias!

Saludos cordiales,

Sam

Answer 1

Creo que tengo ahora. Se puede utilizar el hecho de que $η_\Delta$ es justo la clase de Thom del paquete normal de $\Delta$ y por la transversalidad, esto implica que el paquete normal de $\Delta$ es el paquete de la tangente de $\Gamma$ en los puntos de intersección y viceversa. Así integración se reduce a la integración a lo largo de la fibra.

Esto permite que los integrales alrededor de los puntos de intersección tienen valores $\pm 1$, dependiendo del $sign(\det(Df_p - I))$. (Usando la idea ya mencionada después de la pregunta)