Encontrar el Final de los Dígitos en un Apilado de los Exponentes Problema

Question

Cómo encontrar el los dos últimos dígitos del número $de$\underbrace{\enorme 7^{7^{7^{...}}}}_{1+n}$$ When there are $$ n sevens en el ascendente los exponentes.

No tengo idea de cómo condensar este o por dónde empezar.

Answer 1

Sólo estamos interesados en los dos últimos dígitos, por lo que nos preocupamos por el resto de su energía de la torre, modulo $100$.

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Mi sugerencia es esta: $$7^4 \equiv 2401 \equiv 1 \pmod{100}$$ $$7^2 \equiv 1 \pmod{4}$$

Answer 2

Por Eulero-teorema de Fermat, la tetration $\text{ }^n7$ verifica para todos los $n\ge 3$: $$ \text{ }^n7\bmod{100} \equiv 7^{(\text{ }^{n-1}7 \bmod{\varphi(100)})} \equiv 7^{7^{(\text{ }^{n-2}7 \bmod{\varphi(\varphi(100))})}} \equiv \text{ }^37\bmod{100}. $$

De hecho,$\varphi(\varphi(100))=8$, e $\text{ }^{n-2}7 \bmod{8}=7\bmod{8}$. Observe que el mismo método, junto con el teorema del resto Chino, trabaja para la reducción de la congruencia del tipo $\text{ }^na\bmod{b}$.