Presentación de $\mathrm $ y coordenadas polares en el análisis real

Question

De vez en cuando pienso en cómo se puede estructurar el material de cursos introductorios como el análisis real o el álgebra lineal de una forma que me habría gustado ver en mis días de estudiante de primer año.

Hace poco me preguntaba $\mathrm $ y coordenadas polares. Quiero que se introduzcan lo antes posible y mediante el uso de números complejos .

Lo que busco es una forma elegante y elemental de establecer lo siguiente:

El mapa $ S^1,~ \mathrm e^{\mathrm i }$ es un homomorfismo de grupo suryectivo con núcleo $\mathrm $ para algunos $\mathrm $ avec $ > 0$ .

Luego pasaría a definir $\mathrm = \frac {\mathrm } 2$ etc. Así que mi pregunta es:

Dadas el menor número posible de nociones de topología y diferenciabilidad, con el mínimo de una base sólida en secuencias y series reales y complejas, ¿cómo puede demostrarse este resultado de forma preferentemente conceptual?

El principal problema es que no conozco ninguna forma de demostrar la afirmación anterior sin utilizar mucha topología. Lo que realmente me molesta es la surjetividad y el núcleo del mapa.

Por ejemplo para establecer que el núcleo del mapa dado anteriormente es un subgrupo cíclico, argumentaría que, por continuidad de $\mathrm{exp}$ es un subgrupo cerrado que no puede ser todo $$ y luego demostrar que su generado por el menor número positivo en ella. Entonces podría demostrar la subjetividad mediante el argumento de conectividad sugerido por Robert Israel en esta pregunta relacionada . Utilizando un argumento de ecuación diferencial, la ecuación funcional de $\mathrm{exp}$ se deduce fácilmente.

Pero, ¿pueden ayudarme a hacerlo con menos requisitos previos?

Answer 1

El libro de texto alemán "Analysis" de O. Forster hace básicamente esto (pero no utiliza términos algebraicos): Definir la exponencial compleja por la serie de potencias, demostrar su continuidad y luego definir $\cos(x) $ como parte real de $\exp(ix) $ de verdad $x$ . A continuación, demuestre que el coseno es monotónicamente decreciente en algún intervalo apropiado (por ejemplo, [0,2]) desde 1 hasta un valor negativo. Concluya que hay una raíz más pequeña en este intervalo y llámela $\pi/2$ . Todo lo demás puede deducirse fácilmente.

Esto es bastante rápido pero deja abierto cuando todo esto tiene que ver con el círculo (después de todo, podrías haber definido el coseno como la parte real de $a^x$ para algunos $a$ ...). Para demostrar que $\pi/2$ es el área del semicírculo unitario se puede integrar la función $\sqrt{1-x^2}$ pero para ello se necesita una noción de integral y el teorema fundamental del cálculo.