cómo encontrar el único menor de topología?

Question

Me han llegado a través de la siguiente pregunta :

Deje $\mathscr{T}_\alpha$ ser una familia de topologías en $ X$ . Demostrar que existe un único más pequeño de la topología en $X$ que contiene todas las colecciones $\mathscr{T}_\alpha$ , y un único más grande de la topología de la figura en todos los $\mathscr{T}_\alpha$.

Creo que la única topología más pequeña es igual a la unión de todas las $\mathscr{T}_\alpha's$, y el único más grande de la topología de la figura en todos los $\mathscr{T}_\alpha$ es igual a la intersección de todos los $\mathscr{T}_\alpha's$ .

Answer 1

El hecho básico de verificar es que si $\cal{T}_i$, $i \in I$ es un índice de la colección de topologías en un conjunto $X$, entonces su intersección $\cap_{i \in I} T = \left\{ A \subset X: \forall i \in I: A \in\cal{T}_i \right\}$ es una topología en $X$. Esto es sencillo de la topología de los axiomas.

Una vez hecho esto, entonces el más grande de la topología que contiene todos los $\cal{T}_i$ puede ser definida como la intersección de todas las topologías $\cal{T}$ que contengan $\cup_{i \in I} T_i$ como una subfamilia, y hay al menos una (la topología discreta) así que nos tomamos la intersección de un no-vacío de la familia de topologías, que es una topología como vimos anteriormente. Y es evidente que es el más pequeño que contiene todos los $\cal{T}_i$: si $\cal{T}$ es cualquier topología es una de las topologías tomamos la intersección de, y por lo tanto claramente es un subconjunto de a $\cal{T}$.

Además, los más pequeños de la topología de contenidos en todas las $\cal{T}_i$ es simplemente su intersección, y este es claramente el más grande de la topología que está contenido en todos ellos.

Answer 2

Muchos de los textos de discutir esta cuestión, tal vez dejando algunas de las verificaciones para el lector. Por ejemplo, usted podría mirar aquí.

(Supongo que al escribir estas notas y publicarlos en la web estoy implícitamente dando la opinión de que los hechos como estos son demasiado básicos y fundamentales para hacer un buen ejercicio para el estudiante. No hay ninguna falta de cosas que pedir a un estudiante que resolver, así que en mi opinión como un instructor o de un escritor puede escribir fuera de la realidad básica de las pruebas en su totalidad. Tomo nota de que, por ejemplo, Bourbaki ha esta filosofía: un montón de "sus" ejercicios no sólo son más difíciles que las de muchos tristes proposiciones demostró en su totalidad en el cuerpo del texto, pero es más interesante así. Este no es un ejercicio interesante.)