Evaluar $\int_1^\infty \cosh^{-1}(x) \ln(x^2-1) \exp \left(- \frac{x}{T} \right) dx $

Question

Yo estaría interesado en alguna pista sobre cómo evaluar la siguiente integral $$\int_1^\infty \cosh^{-1}(x) \ln(x^2-1) \exp \left(- \frac{x}{T} \right) dx $$

He tratado de integración por partes, pero parece que sólo conducen a otras integrales de la misma forma, con poderes adicionales de $x$ en el integrando.

Answer 1

Sugerencia:

$\int_1^\infty\cosh^{-1}x\ln(x^2-1)e^{-\frac{x}{T}}~dx$

$=\int_0^\infty\cosh^{-1}\cosh x\ln((\cosh x)^2-1)e^{-\frac{\cosh x}{T}}~d(\cosh x)$

$=\int_0^\infty xe^{-\frac{\cosh x}{T}}\sinh x\ln\sinh^2x~dx$

$=2\int_0^\infty xe^{-\frac{\cosh x}{T}}\sinh x\ln\sinh x~dx$

De acuerdo a http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_376.htm,

Considere la posibilidad de $\int_0^\infty e^{-z\cosh x}\cosh(vx)~dx=K_v(z)$ ,

$\int_0^\infty xe^{-z\cosh x}\sinh(vx)~dx=\dfrac{\partial K_v(z)}{\partial v}$

$\int_0^\infty xe^{-z\cosh x}\sinh x~dx=\dfrac{\partial K_v(z)}{\partial v}(v=1)$

Considere la posibilidad de $\int_0^\infty e^{-z\cosh x}\sinh^vx~dx=\dfrac{2^\frac{v}{2}~\Gamma\left(\dfrac{v+1}{2}\right)K_\frac{v}{2}(z)}{\sqrt\pi z^\frac{v}{2}}$ ,

$\int_0^\infty e^{-z\cosh x}\sinh^vx\ln\sinh x~dx=\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\dfrac{2^\frac{v}{2}~\Gamma\left(\dfrac{v+1}{2}\right)K_\frac{v}{2}(z)}{\sqrt\pi z^\frac{v}{2}}\right)$

$\int_0^\infty e^{-z\cosh x}\sinh x\ln\sinh x~dx=\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\dfrac{2^\frac{v}{2}~\Gamma\left(\dfrac{v+1}{2}\right)K_\frac{v}{2}(z)}{\sqrt\pi z^\frac{v}{2}}\right)_{v=1}$