¿En qué medida el polinomio de Taylor es la mejor aproximación polinómica?

Question

Dada una función $f \in\mathscr C^n([a,b])$ y un punto $x_0 \in [a,b]$ ¿hasta qué punto el polinomio n-t-taylor $T_n(x,x_0)= \sum_ {k=0}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ la mejor aproximación polinómica de $f$ en $[a,b]$ ? Esta puede parecer una pregunta tonta, pero ¿hay una métrica $ \rho $ en $ C^n([a,b])$ para que $ \rho (T_n(x,x_0),f)= \min\ { \rho (p,f) \mid \text {p is a polynomial function} \}$ ? Gracias.

Answer 1

La respuesta es que el polinomio de Taylor no es una muy buena aproximación en el conjunto de $[a,b]$ en general. De hecho, el resto de la serie de Taylor converge a 0 en $[a,b]$ si y sólo si $f$ es analítica, lo que por supuesto no siempre es el caso. La intuición es que la información local cerca de $x_0$ no tiene ninguna posibilidad de ser suficiente para una buena aproximación en $[a,b]$ .

Sabemos que una función continua puede ser aproximada uniformemente en un segmento por polinomios, pero es un poco difícil encontrar qué polinomios exactamente. Otro candidato natural sería los polinomios de interpolación, pero resulta que tampoco son buenos (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Runge%27s_phenomenon ). La respuesta es los polinomios de Bernstein ( http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%27s_polynomial_theorem ).

Answer 2

$T_n(x, x_0)$ es el único polinomio de grado menor o igual a $n$ de tal manera que

$$ T_n(x, x_0) - f(x) \in o((x - x_0)^n) $$

o en términos de límites,

$$ \lim_ {x \to x_0} \frac {T_n(x, x_0) - f(x)}{(x - x_0)^n} = 0$$