Evaluar el límite de $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1/3}\sin(n!)}{1+n}$

Question

Yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de este problema debido a su complejidad. La respuesta parece ser que el límite tiende a cero, por las siguientes razones:

1. $\sin(x)$ nunca será mayor que $1$, y por lo tanto sólo va a reducir el valor del numerador.
2. Si $\sin(x)$ es omitido de la ecuación, la ecuación de lee $\frac{n^{1/3}}{1+n}$. Por lo tanto, debido a la potencia del denominador es mayor que el numerador, el denominador va a alcanzar el infinito más rápido que el numerador, causando el límite de la convergencia a cero.

Esta respuesta me parece un poco trivial, pero no puedo refutar la lógica. Alguien puede confirmar o negar mi proceso de pensamiento? Si se niega, no se podría teorizar un potencial, más rigurosa prueba?

Answer 1

En realidad estamos usando apretando teorema. Se establece que

$$ $ si\,\,\,\,\left\{ \matriz{ {l_n} \le {a_n} \le {u_n} \hfill \cr \mathop {\lim {l_n}}\limits_{n \to \infty } = 0 \hfill \cr \mathop {\lim {u_n}}\limits_{n \to \infty } = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,entonces\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim {a_n}}\limits_{n \to \infty } = 0$$

Ahora considere el siguiente

$$ - {{{n^{{1 \over 3}}}} \over {1 + n}} \le {{{n^{{1 \over 3}}}\sin (n!)} \over {1 + n}} \le {{{n^{{1 \over 3}}}} \over {1 + n}}$$

desde el límite inferior y superior ir a cero por lo tanto la secuencia en sí misma, va a cero. Eso es todo. :)

Answer 2

Su razonamiento es exactamente la manera estándar de hacer frente a ese límite. Buen trabajo.

Answer 3

Utilizar el sándwich/teorema del sándwich + álgebra de límites + como ya se mencionó el delimitada de la propiedad de la función del seno si desea una explicación más rigurosa manera de mostrar el límite. Alternativamente, usted podría formalmente demostrar que el límite que sugieren el uso de la definición de un límite.

Answer 4

La menor prueba utiliza análisis asintótico:

$$\frac{n^{1/3}}{1+n}\sim_\infty \frac{n^{1/3}}n=n^{-2/3}\xrightarrow[n\to\infty]{}0. $$ Como $\,\lvert\sin(n!)\rvert\le 1$, $\;\dfrac{n^{1/3}\sin(n!)}{1+n}=O\bigl(n^{-2/3}\bigr)$, por lo tanto $\;\dfrac{n^{1/3}\sin(n!)}{1+n}$ tiende a $0$ $n$ tiende a $\infty$.