Solucionar $\tanα+2\tan2α+4\tan4α+8\tan8α+16\tanα=\cotα$ $\alpha$

Question

Mi conocimiento de la trigonometría son aún insuficientes para resolver este problema. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

La solución para $\alpha$:

$$\tanα+2\tan2α+4\tan4α+8\tan8α+16\tanα=\cotα$$

Answer 1

Como $\cos2A=\cos^2A-\sin^2A, \sin2A+2\sin A\cos A,$

$$\cot A-\tan A=\frac{\cos^2A-\sin^2A}{\cos A\sin A}=2\cot 2A$$

$$2\tan2\alpha+4\tan4\alpha+8\tan8\alpha+16\tan\alpha=\cot\alpha-\tan\alpha=2\cot2\alpha$$

$$\implies 4\tan4\alpha+8\tan8\alpha+16\tan\alpha=2(\cot2\alpha-\tan2\alpha)=2\cdot2\cot4\alpha$$

$$\implies 8\tan8\alpha+16\tan\alpha=4(\cdot2\cot4\alpha-\tan4\alpha)=4\cdot(2\cot8\alpha)$$

$$\implies 16\tan\alpha=8\cdot(\cot8\alpha-\tan8\alpha)=8\cdot2\cot16\alpha$$

$$\implies \cot16\alpha=\tan\alpha=\cot\left(\frac\pi2-\alpha\right)$$

$$\implies 16\alpha=n\pi+\frac\pi2-\alpha$$ where $$ n es cualquier número entero

$$\implies \alpha=\frac{(2n+1)\pi}{2\cdot17}$$

Answer 2

Mientras puede haber más slick forma de resolver un problema como este, se puede aplicar repetidamente $$\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$$ until you have a rational equation in $\tan(\alpha)$. No he comprobado cómo casi imposible el resultado racional de la ecuación que se obtiene, ya que existe cierta incertidumbre si la ecuación tiene la intención de coeficientes.

Answer 3

La iteración de la identidad de $\cot(\alpha)-\tan(\alpha)=2\cot(2\alpha)$, obtenemos $$ \cuna(\alpha)-\tan(\alpha)-2\tan(2\alpha)-4\tan(4\alpha)-8\tan(8\alpha)=16\cuna(16\alpha)\etiqueta{1} $$ Por lo tanto, el uso de $(1)$, la ecuación en cuestión se convierte en $$ \cuna(16\alpha)=\tan(\alpha)\etiqueta{2} $$ que, debido a la periodicidad de las $\tan$, es equivalente a $$ n\pi+\frac\pi2-16\alpha=\alpha\etiqueta{3} $$ Es decir, $$ \alpha=\frac\pi{34}(2n+1)\etiqueta{4} $$