Intervalo de convergencia de $\sum\limits_{n\geq0} \binom{2n}{n} x^n$

Question

Consideramos que el poder de la serie de $\displaystyle{\sum_{n\geq0} {2n \choose n} x^n}$. Mediante la Prueba de razón, el radio de convergencia es fácilmente demostrado ser $R=\frac{1}{4}$.

Para $x=\frac{1}{4}$, Stirling equivalente y la Relación de la Prueba implica que la serie es divergente. Para $x=\frac{-1}{4}$, Stirling equivalente y la Alternancia de Serie de la Prueba puede ser usada para mostrar la convergencia de la serie. Así, el intervalo de convergencia es $\left[\frac{-1}{4},\frac{1}{4}\right)$.

Mi pregunta: hay una (preferiblemente simple ^^) método para determinar el intervalo de convergencia, sin el uso de equivalentes? Mis alumnos no saben acerca de los equivalentes.

Answer 1

Deje $a_n=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}$. Entonces

\begin{eqnarray} a_n&=&\frac{(2n)\cdot(2n-1)\cdot\dots\cdot 2 \cdot 1}{(2n)^2 \cdot (2n-2)^2 \cdot \dots \cdot 2} \\ &=&\frac{(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \dots \cdot 3 \cdot 1}{(2n) \cdot (2n-2) \cdot \dots \cdot 4 \cdot 2} \\ &=& \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{2k}\right)\\ &<& \prod_{k=1}^n \sqrt{\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)\left(1-\frac{1}{2k}\right)}\\ &=&\sqrt{\frac{(2n)!}{(2n+1)!}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{2n+1}} \, . \end{eqnarray} Por lo $a_n$ tiende a $0$$n \to \infty$; $a_n$ es claramente la monotonía, la alternancia de la serie de prueba demuestra la convergencia de $x=-1/4$.

Usted puede hacer una comparación similar para demostrar que $a_n>\sqrt{\frac{1}{4n}}$, lo que demuestra la divergencia de $x=1/4$.

Answer 2

$$ \begin{align} \left.\binom{2n}{n}\middle/\binom{2n-2}{n-1}\right. &=\frac{2n(2n-1)}{n^2}\\ &=4-2/n \end{align} $$ Así, utilizando la prueba de razón, debemos encontrar la $x$, de modo que $$ \limsup_{n\to\infty}(4-2/n)|x|\lt1 $$ y que es al $|x|\lt1/4$.

Sin embargo, si utilizamos el teorema del binomio, obtenemos que $$ \sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n}x^n=(1-4x)^{-1/2} $$ lo que también indica un radio de convergencia de $\frac14$.

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Los extremos

Como zyx señala, $\binom{2n}{n}\ge\frac{4^n}{2n+1}$ puesto que es la mayor plazo en la fila $2n$ de Triángulo de Pascal, y la suma de los $2n+1$ términos en que fila es $4^n$. Por lo tanto, la suma de la serie para $x=1/4$ diverge.

Ya que la relación de términos de $x=1/4$ es $$ \left.\binom{2n}{n}4^{-n}\medio/\binom{2n-2}{n-2}4^{n+1}\right.=1-\frac1{2n} $$ y la serie armónica diverge, conseguimos que los términos tienden monótonamente a $0$$^\ast$. Dado que los términos de $x=-1/4$ alternativo, la serie converge para $x=-1/4$.

$^\ast\ $Si $x\in(0,1)$, $-\log(1-x)\ge x$, por Lo tanto, si $a_n\in[0,1]$ $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ diverge, entonces $\prod\limits_{n=0}^\infty(1-a_n)=0$.