Así que intento introducir los argumentos más sencillos en el lema de Yoneda y ver cómo interpretarlo. Lo intento para el functor identidad y la categoría de conjuntos finitos, en concreto, utilizo un objeto de tres elementos $\{a,b,c\}$
El lema dice la siguiente relación para functores $F:{\bf C}\to{\bf Set}$ se mantiene, naturalmente:
$$\mathrm{nat}\left(\mathrm{Hom}_{\bf C}(-,A),F\right)\cong F(A).$$
Llegué a ver esto como un resultado sobre los morfismos en la categoría de funtores ${{\bf Set}^{\bf C}}$ es decir
$$\mathrm{Hom}_{{\bf Set}^{\bf C}}\left(\mathrm{Hom}_{\bf C}(-,A),F\right)\cong F(A).$$
Ahora para mi ejemplo esto dice
$$\mathrm{Hom}_{{\bf Set}^{\bf Fin}}\left(\mathrm{Hom}_{\bf Fin}(-,\{a,b,c\}),\mathrm{id_{{\bf Set}^{\bf Fin}}}\right)\cong \{a,b,c\}.$$
Así que eso parece decir que puedo colapsar las funciones de cualquier objeto $B$ en $\{a,b,c\}$ en la identidad, el objeto $B$ exactamente de tres maneras.
No lo veo, ¿he malinterpretado el resultado? ¿Cómo se $\bf Fin$ y el ejemplo de los tres objetos funcionan correctamente?
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En una respuesta, Stefan Hamcke señaló que yo había expuesto una versión contravariante (es decir, aquella en la que $A$ está a la derecha en $\mathrm{Hom}_{\bf C}(-,A)$ ) que no funciona con la identidad (porque no invierte la orientación de las flechas). Aquí intento arreglarlo:
La versión covariante
$$\mathrm{nat}\left(\mathrm{Hom}_{\bf C}(A,-),F\right)\cong F(A),$$
diría
$$\mathrm{nat}\left(({\{a,b,c\}}\to -),\mathrm{id}(-)\right)\cong \{a,b,c\},$$
es decir, hay 3 transformaciones naturales de cualquier espacio de funciones ${\{a,b,c\}}\to B$ a $B$ .
Ahora bien $B,C\in{\bf Fin}$ y
$fromB\ :\ B\to C,$
es una función genérica en esa categoría, entonces naturalidad significa que tomando una función
$toB\ :\ {\{a,b,c\}}\to B$
mediante la transformación natural $\tau$ a $\mathrm{id}(B)=B$ (es decir, la asignación $toB$ a un elemento $\beta\in B$ ) y luego seguir $\mathrm{id}(fromB)=fromB$ (es decir, acabar con $fromB(\beta)\in C$ ), que es lo mismo que tomar mi función $toB$ a la función
$fromB\circ toB\ :\ \{a,b,c\}\to C$
y después elegir, mediante $\tau$ un elemento del codominio $C$ .
Tengo la sensación de que las transformaciones naturales
$\tau\ :\ (\{a,b,c\}\to -)\to \mathrm{id}(-)$
son los tres mapas " $\mathrm{eval}$ en uno de $\{a,b,c\}$ "es decir
$f\ \mapsto\ f(x),$
donde $x$ o bien $a,b$ o $c$ .
